本文针对目前保险业务逐渐复杂和细化的实际情况,建立了双险种复合负二项风险模型,该模型从理赔过程和多险种的角度将经典模型进行了推广,运用切比雪夫不等式的方法讨论了改进后模型的性质并得出相应的破产概率公式,以期能够更真实更准确的反映保险公司的实际运营情况,便于保险公司做出统筹决策与安排。
### 双险种复合负二项风险模型破产概率的研究
#### 摘要与背景介绍
随着保险行业的不断发展，保险产品的种类和结构日益多样化和复杂化。为了更好地模拟实际保险公司的经营状况，学者们提出了多种风险模型。其中，复合负二项风险模型因其能较好地反映理赔次数的方差大于其均值这一特性，在处理某些特定类型的保险业务时展现出优势。本文研究了一种双险种复合负二项风险模型，并通过分析改进后的模型性质，得出了破产概率的计算公式。
#### 研究目的与意义
本研究旨在建立一种更贴近现实的保险风险模型，该模型考虑了保险公司同时经营两种不同险种的情况，并采用复合负二项分布来描述理赔次数。这种模型能够更精确地反映保险公司面临的实际风险，从而帮助保险公司制定更为合理的风险管理策略。
#### 复合负二项风险模型概述
复合负二项风险模型是在经典风险模型的基础上进行扩展的一种模型。传统模型通常假设理赔次数服从泊松分布，而复合负二项风险模型则认为理赔次数服从负二项分布。相比于泊松分布，负二项分布的方差更大，这更符合实际保险业务中理赔次数的变化特征。
#### 模型建立与性质分析
##### 模型建立
模型假设保险公司的盈余过程可以表示为:
\[ U(t) = U + C_1t + C_2t - \sum_{k=1}^{M(t)} X_k - \sum_{k=1}^{N(t)} Y_k \]
- \( U \): 初始准备金
- \( C_1, C_2 \): 分别代表第一种和第二种险种单位时间内收取的保费
- \( X_k, Y_k \): 分别为第一种和第二种险种每次理赔的金额
- \( M(t), N(t) \): 分别表示第一种和第二种险种在时间 \( t \) 内的理赔次数
其中，\( M(t) \) 和 \( N(t) \) 分别服从参数为 \( p_1, r_1 \) 和 \( p_2, r_2 \) 的负二项随机过程，且两者相互独立。此外，\( X_k \) 和 \( Y_k \) 也相互独立且分别具有均值 \( \mu_1, \mu_2 \) 和方差 \( \sigma_1^2, \sigma_2^2 \)。
##### 性质分析
为了确保保险公司的财务安全性，需要保证收取的保费总额大于理赔总额。即：
\[ E[U(t)] = (C_1 + C_2)t - (\frac{r_1q_1\mu_1}{p_1} + \frac{r_2q_2\mu_2}{p_2})t > 0 \]
这里 \( q_i = 1 - p_i \)（\( i = 1, 2 \)）。由此，可以定义一个相对安全系数 \( \theta \):
\[ \theta = C_1 + C_2 - (\frac{r_1q_1\mu_1}{p_1} + \frac{r_2q_2\mu_2}{p_2}) \]
#### 主要论证过程
##### 引理1
任何复合负二项分布都可以被视为复合泊松分布。通过对比复合负二项分布与复合泊松分布的矩母函数，可以证明这一结论。
##### 引理2
盈利过程 \( \{S(t), t \geq 0\} \) 具有平稳独立增量的性质。通过对盈利过程进行分解，并利用理赔次数的独立性和叠加原理，可以证明这一点。
#### 结论
通过上述分析，我们可以得到双险种复合负二项风险模型下破产概率的具体表达式。这对于保险公司在实际操作中制定风险管理策略具有重要的参考价值。此外，该模型还为进一步的研究提供了理论依据和技术支持，有助于推动保险风险理论的发展和完善。
