在本文中，作者曾峥和谢子填提出了一种新的Hilbert型积分不等式，并通过引入权函数给出了具有最佳常数因子的推广形式。Hilbert型积分不等式是数学分析中一个重要的不等式类型，涉及到积分估计和泛函分析的内容。它通常被用于证明其他数学定理，以及在应用数学、物理和其他科学技术领域中有着广泛的应用。
Hilbert型积分不等式的一个重要特点就是其常数因子，这是衡量不等式强度的一个重要指标。在不等式的研究中，寻找最佳常数因子是一个重要且具有挑战性的任务。而文中提到的“等价式”和“逆向不等式”则分别指的是与原不等式在某种意义上相等价的其他不等式形式，以及对原不等式方向的反向不等式。
本文中还提到了Hardy-Hilbert积分不等式，它是Hilbert型积分不等式的一种特殊形式，首次由Hardy和Hilbert提出，并在后续的研究中得到了一系列的推广。在此基础上，作者进一步研究了Hilbert型积分不等式的推广式，并给出了包含在先前推广式中的新不等式形式。
在上述不等式中，Hölder不等式也是一个重要的组成部分。Hölder不等式是关于向量和矩阵范数的一种基本不等式，经常被用于多种数学和工程领域。它在概率论、统计学以及调和分析等众多数学分支中有着广泛的应用。
在给出的新不等式中，涉及到了权函数的概念。权函数在数学中是一种可以对函数进行加权的函数，常用于解决变分问题、积分方程以及微分方程等。在研究不等式时，权函数方法提供了一种新的视角，可以用来构建具有特定性质的不等式系统。
具体来说，本文中提到的权函数W(x)和W(y)是以某种特定方式定义的，它们与参数a、b以及p、q和r、s这些指数值相关。这些权函数在不等式中起到了关键作用，使得可以应用这些不等式来证明原不等式及其相关形式。
作者通过数学证明的方式，证明了这些不等式。证明中使用了特定的数学技巧和策略，例如，通过设定特定的变量关系以及参数的约束条件，使用不等式的基本性质来逐步推导出最终的结果。证明过程中，作者应用了权函数方法，从而得到了具有最佳常数因子的Hilbert型积分不等式的新形式。
本文的研究成果不仅为Hilbert型积分不等式领域带来了新的进展，而且为未来的研究者提供了新的研究工具和方法。通过对权函数以及最佳常数因子的研究，可以进一步拓展到更多形式的Hilbert型不等式推广，为相关领域的深入研究奠定基础。
