本文主要研究了时滞Leslie-Gower捕食者-食饵系统的动力学行为，特别是关注了Hopf分支的存在性以及正平衡点的稳定性问题。Leslie-Gower模型是一种描述捕食者与食饵之间相互作用的生态模型，它考虑了捕食者的承载能力与食饵数量之间的正相关性，并引入了捕食者和食饵的增长率上限。
在这项研究中，系统模型的数学表达式为：
\[ x'(t)=r_1x(t)\left(1-\frac{q(x(t))}{y(t)}\right) \]
\[ y'(t)=r_2y(t)\left(1-\frac{(x(t-\tau))^\delta}{y(t)}\right) \]
其中，\(x(t)\) 和 \(y(t)\) 分别表示食饵和捕食者在时间 \(t\) 的种群数量。\(r_1\) 和 \(r_2\) 分别是食饵和捕食者的内禀增长率。环境对食饵的承载能力用 \(\delta\) 表示，而 \(\gamma x(t)\) 表示依赖于食饵的对捕食者的承载能力。\(q(x)\) 是捕食者对食饵的功能反应函数，本文中特指为Holling-Ⅰ型函数，即 \(q(x)=mx\)。
为研究捕食者和食饵成熟所需时间的影响，引入了时滞参数 \(\tau\)，这使得Leslie-Gower模型变成了时滞模型。这种模型更能反映自然生态系统中种群动态的实际状况。
在研究中，发现系统(5)存在唯一的正平衡点 \(E(x_0,y_0)\)，其中 \(x_0\) 和 \(y_0\) 是特定的函数表达式。通过设定 \(u_1(t)=x(t)-x_0\) 和 \(u_2(t)=y(t)-y_0\)，将系统线性化。研究者进一步探究了在时滞参数 \(\tau\) 的不同取值下，系统的稳定性情况，以及是否存在Hopf分支现象。
Hopf分支是一种在非线性动力系统中可能出现的分叉现象，意味着系统在某个参数值下会从稳定状态转变为周期解，这通常意味着动态系统状态的突变。在生态系统模型中，这种现象可以解释为种群数量随时间周期性变化的行为。
文章通过构建和研究特征方程来分析平衡点的稳定性以及Hopf分支的存在性：
\[ \lambda^2 + r_2 \lambda + (a_1 \lambda + a_1 r_2 + a_2 r_2 \gamma)e^{-\tau \lambda} = 0 \]
通过解这个特征方程，可以研究系统在正平衡点 \(E(x_0,y_0)\) 附近的动态行为，并判断系统随时滞 \(\tau\) 变化的稳定性是否会发生变化。
这项研究对于理解捕食者与食饵种群动态具有重要意义，不仅为理论生态学提供了模型分析的工具，也为实际生态系统的管理和保护提供了潜在的理论指导。此外，研究得到的结论可能对其他具有类似结构的生物数学模型同样适用。
