本文主要探讨了函数空间中函数逼近的问题，特别是关于Beta算子在Lp空间中的逼近理论。为了更准确地理解文章内容，首先需要解释一些基本概念和符号。
函数空间Lp[0,∞)是指所有在[0,∞)区间上p次可积的函数所构成的空间，其中1≤p≤∞。这个空间包含了一类具有p-范数的函数，其p-范数定义为：
||f||p = (∫[0,∞)|f(x)|p dx)^(1/p)
当p=∞时，表示函数f在[0,∞)上的本性最大值。
接下来，Beta算子是一种特殊的线性正算子，由积分形式定义。Beta算子的定义涉及到了Beta函数，这里指的是一种特殊的函数B(n,n)，它与阶乘有关。Beta算子的表达式为：
Βn(f,x) = ∫[0,∞)bn(x,u)f(1/u) du (x>0),
其中bn(x,u) 是由x和u两个变量决定的函数。这个算子是通过积分变换的方式逼近原始函数f。
文章中还提到了Ditzian-Totik光滑模的概念，这是对函数的逼近质量进行度量的一种方法。光滑模通常表示为函数在其定义域上的某种局部变化性质。对于函数f，其光滑模定义为：
Ξ2Υ(f,t)p = sup0<h≤t ||∃2hf||p，
其中∃2hf(x) = f(x+h)-2f(x)+f(x-h)，表示函数f在点x处的二阶差分。这里t代表平滑参数，p代表Lp空间的范数。
文章的主要贡献在于提供了Beta算子在Lp空间中逼近的特征刻画。即，给出了函数f与Beta算子逼近f之间的误差||Βn(f)-f||p的上界与光滑模之间的一个关系。作者指出，如果函数f在Lp空间中满足一定的平滑性条件，则Beta算子逼近的误差可以被控制在与n的负指数幂成比例的程度。
特别地，文章证明了一个重要定理（定理2），它表明如果函数f属于S2类，则Beta算子逼近误差与n的倒数成比例，这个比例由光滑模与函数Ω(t)之间的关系决定。文中详细介绍了这个定理的证明过程，包括必要的引理和定理2证明的充分性及必要性部分。
文章中的引理和定理为后续的研究工作提供了理论基础，是分析函数逼近误差以及构造逼近算法的重要工具。研究者可以利用这些结果去分析不同函数逼近算子的收敛性质，并在此基础上进行优化和改进。
文章通过精细的数学分析，提供了函数逼近理论中关于Beta算子逼近的新的特征刻画。这对于数学理论研究以及逼近算法设计均有着重要的意义。
