第
29
卷第
12
期
2012
年
12
月
控制理论与应用
Control
Theory
&
Applications
Vo
l. 29 No. 12
Dec.2012
文章编号:
1000-8152(2012)12-1629-04
一类齐次离散双线性系统可控性分析
沈进中
1
邓留保
1
，
2
(1.南京理工大学理学院，江苏南京
210094;
2.
安徽财经大学统计与应用数学学院，安徽蚌埠
233030)
摘要:在系统分析中，可控性是系统的一个重要特性.在工程实际操作中，往往需要对一个连续系统进行离散化
处理，人们希望系统在离散化后能保留原系统的重要系统特征，比如可控性.对于线性系统，我们有成熟的判断方
法-然而，对于非线性系统则无统→的判别方法.
Elliott
在
2005
年给出了一个二阶双线性系统经过离散化后，可控性
发生变化的例子.它表明一个系统在离散化前后，它的可控性可能会发生改变.本文旨在给出一类二阶离散化双线
性系统可控性充分条件，并和己有结果作比较，表明本文结果更具有一般性.另外，本文对于
3
阶及以上的这类系统
可控性做出了不可控的判断.
关键词:可控性;双线性系统;
Euler
离散化;子流形
中图分类号:
0231
文献标识码
:A
Controllability of a class of homogeneous discrete-time bilinear systems
SHEN
Ji
n-zhong
1
,
DENG
Liu-bao
1
,2
(1.
Department
of
App
Ii
ed
Mathematics,
Nanjing
University
of Science
and
Technology
,
Nanjing
Jiangsu
210094
,
China;
2.
School
of Statistics
and
App
Ii
ed
Mathematics
,
Anhui
University of Financial
and
Economics
,
Bengbu
Anhui
,
233030
,
China)
Abstract:
In the system analysis, controllability is an important feature
of
the system. In engineering practice, it is often
required to discretize a continuous system. It is hoped the system after discretization to preserve important characteristics
of
the original system, such as controllability. For linear systems, we have a mature judgment method. However, for
nonlinear systems there is no general determination method. Elliott
, in 2005, gave a second-order bilinear system for which
the controllability is changed after discretization.
It
shows that a system before and after discretization may have different
controllability. We give a sufficient condition for the controllability
of
a class
of
second-order discrete bilinear system, and
prove
出
at
it
is
more general than other existing results. Besides, we affirm that this kind
of
systems with orders higher than
two is not controllable
Key words: controllability; bilinear systems; Euler discretization; submanifold
1
引言
(Introduction)
双线性系统是一种形式上最简单并且最接近于
线性系统的一类非线性系统.由于它的特殊结构，使
其在系统的可控制性、最优化等方面有着明显的优
越性.它可以用来描述工业生产、生态、生物、社会
经济等过程
[1
-6]众所周知系统可控性研究的问题
就是如何使系统在一定的约束条件下从一种状态转
移到期望的某种状态因此可控性是系统的重要的
本质属性之一.对于离散或连续时不变线性系统，通
过计算矩阵的秩便可判断系统是否可控，因此连续
时不变线性系统在离散化前后的可控性可以很容易
判断出来.但是对于非线性系统而言，判断系统是
否可控却没有一个统一的判据.因此常常就一类非
线性系统进行研究，对于双线性系统同样如此关于
双线性系统可控性的研究在
20
世纪
70
年代就已经开
始
[7-14]
主要是对连续双线性系统进行分析，所采用
收稿日期:
2012-04
一
18;
收修改稿日期
2012-06-22.
基金项目:国家自然科学基金资助项目(7
117100
1).
的工具主要是微分几何和李代数，获得了许多重要
的判别连续双线性系统可控性结果.但是，对于离散
双线性系统，所得到的可控性研究结果较少.
Elliott[15]
在
2005
年给出了一个二阶连续双线性
系统在经过
Euler
离散化后得到的离散系统的可控
性与原来系统可控性不一致的反例.为了更进一步
研究这类双线性系统的可控性，现考虑如下形式的
齐次双线性系统:
土二
u(t)Bx
，
x(O)
二已
(1)
其中
:x ε
]R
n
是状态向量
，
u
ε
]R是输入
，
B
ε
]R
nxn
，
ç
εR?(Rf=Rn
一
{O}
)是初始状态.系统(1)通
过
Euler
离散化得
x(k +
1)
=
(I
+
υ
(k)B)x(k)
，
x(O)
=
已
(2)
v(k) = Tu(k) , k = 0, 1, . . . ,
其中
T
是步长.文献[1
5]
所给出的反例是系统(1)取
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