### 2012年东南大学自动化复试笔试自控题解析
#### 一、简答题解析
##### 1. 对于一个线性定常连续系统，若x(0)不可控，则对任意t>0，是否exp(At)*x(0)仍不可控？
对于线性定常连续系统，如果初始状态\( x(0) \)不可控，意味着无法通过系统的控制输入将初始状态\( x(0) \)调整到任何期望的状态。这里的“不可控”是指不存在任何控制信号\( u(t) \)，能够在有限时间内将初始状态\( x(0) \)驱动到任意目标状态。
考虑状态方程\( \dot{x} = Ax + Bu \)，其中\( A \)是状态矩阵，\( B \)是输入矩阵，\( u \)是控制输入。系统的状态转移矩阵为\( \Phi(t, t_0) = e^{A(t-t_0)} \)，它描述了从时刻\( t_0 \)到时刻\( t \)状态的演变情况。因此，对于任意\( t > 0 \)，如果\( x(0) \)不可控，那么\( e^{At}x(0) \)也一定是不可控的。
**理由分析：**
- 如果\( x(0) \)不可控，说明存在初始状态\( x(0) \)下的控制输入\( u(t) \)，无法让系统状态在有限时间内达到任何期望的目标状态。
- \( e^{At} \)描述的是在没有控制输入的情况下，即\( u(t) = 0 \)时，系统状态随时间的自然演化过程。
- 因此，即使经过任意时间\( t > 0 \)，如果没有控制输入，状态仍然是不可控的，即\( e^{At}x(0) \)不可控。
如果初始状态\( x(0) \)不可控，则对于任意\( t > 0 \)，\( e^{At}x(0) \)也是不可控的。
##### 2. 判断两个矩阵是否是状态转移矩阵？若是，求出A。
状态转移矩阵\( \Phi(t, t_0) = e^{A(t-t_0)} \)是连接系统在不同时间点之间状态的桥梁，描述了系统在无控制输入的情况下状态如何随时间变化。判断给定的矩阵是否为状态转移矩阵，可以通过检查其是否满足状态转移矩阵的基本性质来进行。
由于题目中的具体矩阵并未给出，这里提供一般性的判断方法：
- **基本性质：**状态转移矩阵应满足以下条件：
- \( \Phi(t, t) = I \)，即当起始时间和终止时间相同时，状态转移矩阵等于单位矩阵。
- \( \Phi(t_2, t_1)\Phi(t_1, t_0) = \Phi(t_2, t_0) \)，即状态转移矩阵满足结合律。
- 如果\( \Phi(t, t_0) = e^{A(t-t_0)} \)，则\( A \)应该满足矩阵指数的性质，即\( \frac{d}{dt}\Phi(t, t_0) = A\Phi(t, t_0) \)。
通过这些性质可以判断给定的矩阵是否为状态转移矩阵。如果确定是状态转移矩阵，可以通过解微分方程\( \frac{d}{dt}\Phi(t, t_0) = A\Phi(t, t_0) \)来求得矩阵\( A \)。
##### 3. 在开环传递函数中增加一个开环零点，对系统根轨迹有何影响？对系统瞬态性能有何影响？
**根轨迹的影响：**
在开环传递函数中增加一个开环零点会影响根轨迹的走向，具体表现为：
- **分支点：**增加零点可能会导致根轨迹出现新的分支点。
- **方向：**增加零点可能改变根轨迹的方向，尤其是在某些关键点附近。
- **终点：**根轨迹的终点可能发生变化，尤其是对于那些原本接近于无穷远处的根轨迹分支。
**瞬态性能的影响：**
增加开环零点会直接影响系统的瞬态性能，具体表现为：
- **上升时间：**增加零点可能会导致系统上升时间变长或变短，这取决于零点的位置及其相对于极点的位置。
- **超调量：**增加零点可能增加或减少系统的超调量，这也取决于零点的位置。
- **调节时间：**增加零点可能会延长或缩短系统的调节时间，这取决于零点的位置以及系统原有的特性。
##### 4. 对于非最小相位系统，为什么说一定存在K使得系统不稳定？
非最小相位系统是指包含非最小相位零点的系统，这类系统的传递函数在复平面上包含了位于右半平面的零点。对于非最小相位系统而言，一定存在某个增益\( K \)，使得闭环系统变得不稳定。
**原因分析：**
- **非最小相位零点的存在会导致系统的相角裕度减小，甚至变为负值。**当系统增益\( K \)增加时，闭环系统的相角裕度会进一步减小。
- **在某些情况下，非最小相位零点会使得系统在某一频率下的相位变化急剧增加，从而导致闭环系统的相位穿越频率处的相角裕度为负值。**
- **当闭环系统的相角裕度为负值时，随着增益\( K \)的增加，系统将在某一特定的\( K \)值下失去稳定。**
非最小相位系统中一定存在某个\( K \)值，使得系统变得不稳定。
##### 5. 输入-输出稳定性与内部稳定性是否等价？两者有何关系？对于单输入单输出系统两者何时等价？
**输入-输出稳定性与内部稳定性的关系：**
- **输入-输出稳定性**（IO稳定性）指的是系统对外部输入的响应是有限的，即系统的输出受到输入信号的约束，即使在无限持续的输入作用下，输出也不会发散到无穷大。
- **内部稳定性**是指系统的内部状态是稳定的，即系统的所有状态变量随着时间的推移最终都趋向于某个有限值或周期振荡，而不会发散到无穷大。
**二者的关系：**
- 一般来说，输入-输出稳定性和内部稳定性不是等价的概念。
- 输入-输出稳定性关注的是系统对外部输入的响应特性，而内部稳定性则侧重于系统内部状态的变化特性。
- 但是，在某些特殊情况下，如单输入单输出(SISO)系统，这两种稳定性之间存在一定的关联。
**单输入单输出系统时二者等价的情况：**
对于单输入单输出系统而言，输入-输出稳定性和内部稳定性在以下条件下等价：
- 当系统是BIBO（有界输入有界输出）稳定时，即系统对所有有界的输入信号都能产生有界的输出。
- 当系统是渐近稳定的，即系统的内部状态随着时间的推移最终会趋向于零或周期振荡。
在SISO系统中，如果系统是BIBO稳定的并且是渐近稳定的，则输入-输出稳定性和内部稳定性是等价的。
#### 二、综合题解析
##### 1. 机电系统建模
**问题描述：**
机电系统建模问题涉及了一个包含输入\( u(t) \)和输出\( x(t) \)的系统。系统中有一个电磁力\( k_4i(t) \)作用于质量\( m_1 \)，并且存在一个反电动势\( e = k_3\frac{dx}{dt} \)。
**系统框图及传递函数推导：**
为了建立系统的数学模型，首先需要建立系统的动力学方程。
假设系统遵循牛顿第二定律，可得：
\[ m_1\ddot{x} = k_4i(t) - b\dot{x} - kx \]
其中，\( b \)表示阻尼系数，\( k \)表示弹簧刚度系数。
考虑到反电动势\( e = k_3\dot{x} \)，则有：
\[ \dot{x} = \frac{e}{k_3} \]
将上式代入动力学方程中，得到：
\[ m_1\ddot{x} = k_4i(t) - b\frac{e}{k_3} - kx \]
整理后得到系统的微分方程：
\[ m_1\ddot{x} + b\frac{e}{k_3} + kx = k_4i(t) \]
将上式转换为传递函数的形式，假设输入为电压\( V(t) \)，输出为位置\( x(t) \)，则系统的传递函数为：
\[ G(s) = \frac{X(s)}{V(s)} \]
考虑到反电动势与电流的关系，可以得到：
\[ e = L\dot{i} + R_i \]
其中，\( L \)为电感，\( R_i \)为电阻。由此可知，输入电压与反电动势之间的关系为：
\[ V(t) = e + Ri(t) \]
因此，系统的传递函数可以表示为：
\[ G(s) = \frac{X(s)}{Ri(s) + LsI(s)} \]
进一步简化为：
\[ G(s) = \frac{1}{ms^2 + bs + k} \cdot \frac{k_4}{Rs + Ls} \]
这就是该机电系统的传递函数。
**总结：**
通过上述步骤，我们成功建立了机电系统的数学模型，并推导出了系统的传递函数。这个模型能够帮助我们理解和分析系统的动态行为，为后续的设计和优化提供理论基础。
##### 2. 对于离散系统
**问题描述：**
给定离散系统的状态方程为：
\[ x(k+1) = Ax(k) + Bu(k) \]
其中，\( A \)和\( B \)为系统矩阵，\( x(k) \)为状态向量，\( u(k) \)为控制向量。
要求求解开环和闭环脉冲传递函数，绘制系统根轨迹，并求出使系统稳定的\( K \)的范围。
**开环和闭环脉冲传递函数：**
对于给定的离散系统，开环脉冲传递函数\( G(z) \)定义为：
\[ G(z) = \frac{C(zI-A)^{-1}B+D}{z} \]
其中，\( C \)为输出矩阵，\( D \)为直接通路矩阵。为了求解开环脉冲传递函数，需要先计算\( (zI-A)^{-1} \)。
**系统根轨迹：**
根轨迹图描述了闭环系统极点随参数\( K \)变化的情况。对于离散系统，根轨迹的绘制方法类似于连续系统，但需要考虑采样时间\( T \)的影响。通常，可以使用MATLAB等工具软件来绘制根轨迹。
**系统稳定性的\( K \)范围：**
要确定系统稳定的\( K \)范围，可以通过朱利判据来实现。朱利判据适用于判断离散时间系统的稳定性，要求系统的特征根均位于单位圆内。
**总结：**
通过对给定的离散系统的分析，我们求解了开环和闭环脉冲传递函数，并绘制了系统的根轨迹。此外，还求得了使系统稳定的\( K \)的范围。这些结果有助于理解系统的动态特性和稳定性，对于设计和分析离散控制系统至关重要。
##### 3. 关于离散系统
**问题描述：**
本题要求已知两个零输入响应，求系统矩阵\( G \)，再求\( x(5) \)。
**求解系统矩阵\( G \)：**
已知两个零输入响应，可以利用这两个响应来求解系统矩阵\( G \)。零输入响应指的是在无外加输入的情况下系统的自然响应，可以表示为：
\[ x(k) = G^kx(0) \]
通过比较两个零输入响应的时间序列，可以求解出系统矩阵\( G \)。
**求解\( x(5) \)：**
已知\( x(0) \)，\( H \)，\( u \)，要求\( x(5) \)。可以通过迭代法计算\( x(k) \)的值，即利用状态方程反复计算，直到\( k=5 \)。
具体步骤如下：
1. **初始化：**\( x(0) \)
2. **迭代计算：**
- \( x(1) = Gx(0) + Hu(0) \)
- \( x(2) = Gx(1) + Hu(1) \)
- ...
- \( x(5) = Gx(4) + Hu(4) \)
**总结：**
通过求解零输入响应，我们成功得到了系统矩阵\( G \)，进而利用迭代法计算了\( x(5) \)。这些步骤不仅解决了本题的问题，也为解决类似的离散系统问题提供了通用的方法论。
##### 4. 关于离散系统证明
**问题描述：**
对于n维线性定常离散系统，证明：一定能找到\( u(kT) \)，使得在不超过\( nT \)的时间内使\( x(t) \)回到状态原点的充要条件是该离散系统完全能控。
**证明思路：**
要证明这一命题，需要利用能控性理论来分析。能控性是指系统能够通过适当的控制输入从任意初始状态转移到任意期望的状态。
**证明步骤：**
1. **定义能控性矩阵：**
能控性矩阵\( C \)定义为：
\[ C = [B \ AB \ A^2B \ ... \ A^{n-1}B] \]
其中，\( A \)为状态矩阵，\( B \)为输入矩阵。
2. **证明必要性：**
如果系统完全能控，则能控性矩阵\( C \)具有满秩，即\( rank(C) = n \)。这意味着存在控制输入\( u(kT) \)，可以在\( nT \)时间内将状态\( x(t) \)转移到状态原点。
3. **证明充分性：**
如果存在控制输入\( u(kT) \)，使得在不超过\( nT \)的时间内使\( x(t) \)回到状态原点，则表明系统完全能控。这是因为，如果系统不能完全能控，即\( rank(C) < n \)，那么就不存在控制输入能够使系统状态在有限时间内达到状态原点。
4. **结论：**
通过上述证明步骤，我们可以得出结论：对于n维线性定常离散系统，一定能找到\( u(kT) \)，使得在不超过\( nT \)的时间内使\( x(t) \)回到状态原点的充要条件是该离散系统完全能控。
**总结：**
通过对能控性的深入分析，我们成功证明了关于离散系统的命题。这一结论不仅加深了对能控性的理解，也为实际工程应用提供了理论支持。
