在P-凸度量空间内，对关于P的广义拟压缩映射定义了Ishikawa迭代序列， 证明了Ish。ikawa迭代序列收敛于广义拟压缩映射的唯一不动点。这仑结果推广和统一了uu Qin-hou，Xu Hong—kun，Ding Xie—ping，H.ERhoades，田有先，Tian you-xian and Chang Shi—sheng等人的相应结果。
### P-凸度量空间内广义压缩映射不动点的迭代
#### 一、引言
在数学分析领域，不动点理论是研究一个映射（或变换）下的不变元素的重要分支。对于度量空间中的压缩映射，不动点的存在性、唯一性和收敛性问题是不动点理论的核心内容之一。田有先与谢声时的研究成果《P-凸度量空间内广义压缩映射不动点的迭代》发表于2005年，该论文主要关注了在P-凸度量空间内广义拟压缩映射的不动点问题。
#### 二、P-凸度量空间简介
P-凸度量空间是一类特殊的度量空间，其定义基于度量空间的概念。在一个度量空间中，两个点之间的距离是通过度量函数来定义的。P-凸度量空间的概念则是在此基础上加入了一些额外的性质，这些性质使得空间内的某些集合具有更好的几何结构。
#### 三、广义拟压缩映射
在本文中提到的“广义拟压缩映射”是指一类特殊的映射，它在度量空间中定义，并满足一定的压缩条件。具体而言，如果存在一个实数λ（0≤λ<1），对于所有x,y∈X（其中X为度量空间），都有d(Tx,Ty)≤λd(x,y)，那么映射T:X→X被称为压缩映射。而广义拟压缩映射则是在这个基础上进行了扩展，允许更广泛的距离度量函数。
#### 四、Ishikawa迭代序列
Ishikawa迭代法是一种用于求解不动点问题的迭代方法。该方法首先由日本数学家S. Ishikawa提出，适用于压缩映射的不动点问题。Ishikawa迭代序列通常形式为：
\[
\begin{aligned}
x_{n+1} &= (1-\alpha_n)x_n + \alpha_n T(y_n), \\
y_n &= (1-\beta_n)x_n + \beta_n T(x_n),
\end{aligned}
\]
其中\(x_n\)表示迭代过程中的第n个点，\(T\)是待研究的映射，\(\alpha_n\)和\(\beta_n\)是控制迭代过程的参数，通常为[0,1]区间内的实数序列。
#### 五、主要研究成果
田有先与谢声时在文中证明了，在P-凸度量空间内，对于广义拟压缩映射定义的Ishikawa迭代序列收敛于唯一的不动点。这一结论不仅推广了前人的工作，还将其统一起来。该结果是对已有理论的一个重要补充和完善，特别是对uu Qin-hou、Xu Hong-kun、Ding Xie-ping、H.E.Rhoades等人先前工作的推广。
#### 六、结论
本文通过对P-凸度量空间内广义拟压缩映射的深入研究，不仅解决了不动点存在的唯一性问题，而且提供了一种有效的迭代算法——Ishikawa迭代序列来逼近这个不动点。这一研究成果不仅具有重要的理论价值，也为解决实际问题中的不动点问题提供了新的思路和方法。未来，随着更多学者对该领域的进一步探索，可以预见将会出现更多关于不动点理论的新进展。
