关于KKM映射的一点注记 (2005年)

本文主要研究了超凸度量空间中的一种特殊映射——KKM映射，并探讨了这类映射的性质，由此导出了Fan-Browder型不动点定理。文章的关键内容包括超凸度量空间的概念、广义度量S-KKM映射的定义、可容许集以及闭值转移和开逆值转移等概念，同时还推广了先前的一些研究成果。以下是对这些知识点的详细解读。 超凸度量空间的概念最早由Aronszajn和Panitchpakdi提出，并由Sine与Soardi进行了进一步研究。超凸度量空间是指对于度量空间N中的任意点集及其对应的闭球族，它们的凸壳能够在有界超凸空间上找到非膨胀映射的不动点。这为研究非膨胀映射提供了有力的工具，也因此得到了广泛关注，并在[1-4]中取得了一系列重要结果。 在本文中，作者首先明确了超凸度量空间的定义。一个度量空间(M, d)被称为超凸的，如果对于任意的实数集和点集，都满足一定条件。进而，超凸度量空间M的完备性得到了证明，并说明了M是超凸的等价于M的完备性。 接着，定义了广义度量S-KKM映射（简称为GMS-KKM）。如果对于每一个非空有限集，都能找到一个集合族，使得每个子集的像都包含在相应的闭球内，那么这个映射就被称为广义度量S-KKM映射。这种映射在超凸度量空间中表现出独特的性质。 文章还讨论了有限度量闭集合的概念。如果在超凸度量空间中的集合对于每一个有限子集，其凸包是闭的，那么这个集合就是有限度量闭的。这个性质对于理解超凸度量空间中的映射行为至关重要。 定理1是本文的核心结果之一，它指出如果一个非空集合X到超凸度量空间M的映射S和集值映射G都有有限度量闭值，并且具有有限交性质，那么映射G必然是广义度量S-KKM映射。该定理为研究超凸度量空间中的映射提供了一种方法，即通过考察映射的有限度量闭值和有限交性质来判断映射是否属于GMS-KKM。 作者张秀之通过对文[5-6]中的KKM映射进行推广，得到了一系列新的结论，这不仅深化了对超凸度量空间及其映射的理解，也为不动点理论的发展做出了贡献。特别是，通过推广文[5-6]中的研究成果，本文的研究成果为超凸度量空间的研究提供了一种新的视角和方法，具有重要的理论价值和潜在的应用前景。