Lotka-Volterra系统，又称捕食者-食饵系统，是一种描述生物种群动态的数学模型。它由两个常微分方程构成，用以模拟捕食者与食饵（通常是两种不同的物种）之间的数量变化关系。在描述中，保守型Lotka-Volterra系统指的是那种具有能量守恒特性的模型，即系统中所涉及的物种数量动态变化满足特定的约束条件，通常意味着没有能量输入或输出，系统的总能量是保持不变的。
本文提出了使用广义Hamilton系统理论研究保守型Lotka-Volterra系统的方法。Hamilton系统理论起源于物理学中对保守系统的描述，通过引入Hamiltonian函数（即能量函数），能够将系统的动态特性与Hamiltonian函数的梯度流联系起来。通过这种方式，研究人员能够利用Hamiltonian理论中辛几何的性质来研究系统的结构和行为，特别是系统的周期解。
文章中提到了广义Hamilton系统理论的几个关键概念，如辛叶层（symplectic foliation）和周期解。辛叶层是指系统相空间中的一个特殊的几何结构，该结构能够保证系统的相流能够以一种特殊的方式进行流动，即保持相流的辛结构不变。周期解则是指系统中满足周期性运动特性的解，即系统会经历一个或多个周期性的循环运动，这在生物种群动态中可以理解为捕食者和食饵数量的周期性波动。
在研究方法上，文章提出了将保守型Lotka-Volterra系统按照相互作用矩阵A和对应的对角矩阵D来分类，这允许研究者将系统分为互利合作型、保守型和耗散型三种类型。每一种类型都对应着不同的动力学性质，比如互利合作型与保守型倾向于展现出比较规律的周期性运动，而耗散型系统则可能表现出更复杂的动力学行为。
文章还引用了之前的研究成果，说明了在某些参数条件下，保守型Lotka-Volterra系统可以展现出具有全局吸引域的特性，意味着在一定的初始条件下，系统的动态行为会趋向于某一个稳定的周期解。这一点在研究生态系统的稳定性时尤为重要，因为它关系到种群数量能否在某些条件下达到稳定的共存状态。
特别地，文章通过实例分析展示了在特定参数条件下，如当系统的维数n为4时，保守型Lotka-Volterra系统会出现复杂的不可积动力学现象。这表明在高维系统中，即便是保守型模型也可能表现出非常复杂且难以预测的动力学行为，这对生态系统管理、预测和模型构建提出了挑战。
文章强调了利用广义Hamilton系统理论来研究保守型Lotka-Volterra系统周期解和其他动力学性质的价值，并期待未来能有更多基于此理论的研究出现，以丰富我们对生物种群动态行为的理解。
该篇文章通过将保守型Lotka-Volterra系统与广义Hamilton系统理论相结合，不仅提供了一种研究复杂生态系统动态的新方法，还进一步加深了人们对这一重要数学模型动力学性质的认识，特别是关于周期解的存在性和结构的理解。这对于理论生态学和应用数学领域都具有重要的意义。
