等距曲线可隐含代数精确表示 (1994年)

等距曲线是指在平面或空间中，每一个点到某条固定曲线的距离都相同的点的集合。等距曲线在几何设计、计算机辅助设计与制造（CAD/CAM）等领域有广泛的应用。本文研究了古典平面代数曲线簇空间在等距运算下的性质，以及如何精确表示由等距运算所产生的曲线。 等距运算是一种基本的几何运算，它可以描述物体等长度膨胀或收缩的变换。在计算机图形学中，等距运算可以用来模拟物体在空间中的均匀放大或缩小。由于标准的参数样条或有理曲线在进行等距运算后往往不再保持原有的形式，因此构造等距曲线通常采用非精确表示的逼近形式。本文提出了通过将现有的体素造形系统的标准曲线扩展至隐式代数曲线来实现等距曲线的精确表示。 在本文中，陈忠雄证明了在等距运算下，平面代数曲线簇空间是一个不变子空间，即等距运算后的曲线仍然属于代数曲线簇空间。此外，他还证明了等距曲线的代数次数与原曲线的代数次数之间存在一定的关系。具体来说，对于一般的参数多项式或有理曲线，在进行等距运算后，等距曲线的代数次数是原曲线代数次数的四倍减去2。 文章首先介绍了一些预备知识，包括结式的概念和性质。结式是代数学中的一个重要工具，用于判断两个多项式是否具有公共根。文章接着介绍了如何利用结式方程来研究平面代数曲线在等距运算下的变化情况。通过构建特定的多项式表达式，并利用结式的性质，证明了等距运算后的平面代数曲线仍然是平面代数曲线，并给出了等距曲线的代数次数的上界。 对于自由等距曲线，即那些可以参数化的自由曲线，在等距运算下其代数次数与原曲线的代数次数之间的关系是线性的。这是由于自由曲线可以通过参数化的方式转换为参数多项式，而这些参数多项式在等距运算下的性质较为简单。 文章通过定理和引理的形式，逐步展开论述。其中引理1讨论了两个二元多项式之间结式的性质，证明了结式关于某变量的次数不会超过这两个多项式关于该变量的次数之积。基于此，文章进一步证明了平面代数曲线在等距运算下保持其代数性质，其等距曲线的代数次数不超过16倍的原曲线代数次数加14倍的原曲线代数次数。此外，文章还给出了关于自由曲线的隐含代数表示的具体证明。 总而言之，本文在数学和计算几何领域内，对等距曲线的研究和代数精确表示做出了重要的贡献，为CAD/CAM系统中等距曲线的精确构造提供了理论基础和技术手段。