平均值不等式是数学中一个基础且重要的不等式概念，它涵盖了调和平均数、几何平均数、算术平均数以及p次幂平均数之间的关系。具体而言，这些平均值满足如下不等式链：调和平均数 ≤ 几何平均数 ≤ 算术平均数 ≤ p次幂平均数。利用Jensen不等式，可以给出这一不等式链的简洁证明。Jensen不等式是一个关于凸函数的重要定理，指出如果函数f是凸的，那么对于任意的正数权重λ_i，满足它们的和为1，对于任意实数a_i，都有f(∑λ_ia_i) ≤ ∑λ_if(a_i)。
在本文中，作者张章和赵焕光探讨了平均值不等式在证明其他重要不等式中的应用，特别是Hölder不等式和“分式和”不等式。Hölder不等式是一个在数学分析中广泛应用的不等式，其内容指出，对于任意的实数序列a_i和b_i，以及正实数p和q，当1/p + 1/q = 1时，有n个项的乘积的绝对值之和小于或等于n个项的p次幂之和的1/p次幂乘以n个项的q次幂之和的1/q次幂。而“分式和”不等式则是指在一定条件下，对于正数序列a_i和b_i，可以得到a_i/b_i之和的一个上界。
文章首先通过引理的形式介绍了平均值不等式链，并通过Jensen不等式给出了证明。接着，文章详细探讨了平均值不等式链在推导Hölder不等式中的应用，展示了如何从平均值不等式出发得到Hölder不等式的证明过程。此外，作者还通过平均值不等式建立了一个在数学竞赛题中广泛应用的新不等式。
在文章的预备知识部分，作者利用凸函数的性质，结合Jensen不等式，给出了平均值不等式链的一个简洁证明。他们指出，如果函数f(x)=e^x是凸函数（因为其二阶导数大于0），那么对于任意正数权重λ_i，有e^(∑λ_i ln(a_i)) ≤ ∏a_i^λ_i。通过进一步的推导，可以得到调和平均数 ≤ 几何平均数 ≤ 算术平均数 ≤ p次幂平均数的不等式链。
在平均值不等式在重要不等式推证中的应用部分，作者通过命题1，展示了一个重要的结论：利用算术平均数和p次幂平均数之间的不等关系可以推导出Hölder不等式。这说明了在特定条件下，可以通过平均值不等式得到Hölder不等式，而且当且仅当所有a_i相等时，上述不等式中的等号成立。
接着，作者还讨论了平均值不等式与柯西不等式之间的关系，指出柯西不等式可以通过平均值不等式推导出来。文章通过对算术平均数、几何平均数、调和平均数和p次幂平均数之间关系的深入分析，为理解和掌握各种不等式之间的联系提供了有力的工具。
文章通过平均值不等式链及其在推导Hölder不等式和柯西不等式中的应用，揭示了数学分析中不等式之间的深刻联系，为数学竞赛和相关数学问题的解决提供了新的视角和方法。
