一类二层规划问题的调节熵函数法

在这篇文章中，作者高常海、曹德欣和李响讨论了一类特殊的数学问题——二层规划问题，并提出了利用调节熵函数法来求解这一问题的新算法。下面将详细介绍文章中的关键知识点。 1. 二层规划问题概述：二层规划问题是指在一个优化问题中，存在两个决策层次：上层和下层。上层问题根据某些目标和约束条件给出一个决策，而下层则需要在上层决策的基础上进行进一步的优化。这类问题在工程、管理和社会经济领域有着广泛的应用。 2. 对偶定理：在优化问题中，对偶定理用于将原始问题转化为对偶问题，有助于简化问题的求解过程。对偶问题通常与原始问题在最优值上等价，或存在某种关联，从而可以利用对偶问题来获得原始问题的最优解。 3. 精确罚函数法：罚函数法是一种将有约束优化问题转化为无约束优化问题的技术手段，其基本思想是通过在目标函数中添加一个与约束违反程度相关的惩罚项来推动解向可行域内移动。精确罚函数法通过逐步调整罚因子来确保找到满足原始约束条件的最优解。 4. 调节熵函数法：调节熵函数是将熵概念引入到优化问题中的一种方法，它通常用于处理那些不容易直接求解的优化问题。调节熵函数法通过引入熵项到目标函数中，可以引导搜索过程向更有序、更合理的方向进行，从而避免了算法在迭代过程中可能遇到的早熟收敛问题。 5. 无约束可微优化问题：指的是目标函数在其定义域内连续且可微的优化问题，且没有额外的约束条件。此类问题通常可以通过梯度下降、牛顿法等经典算法来求解。 6. BFGS算法：是一种用于求解无约束非线性优化问题的迭代方法，属于准牛顿法的一种。BFGS算法通过近似计算目标函数的二阶导数（海森矩阵）的逆矩阵，来构造搜索方向，其优点在于不需要直接计算二阶导数，算法效率较高。 7. 收敛性分析：在优化算法中，分析算法在迭代过程中是否能够稳定地向最优解靠拢是非常重要的。收敛性分析能够提供算法是否有效的数学证明，是算法设计和评价的关键环节。 8. 数值算例：作者通过具体的数值例子展示了所提算法的实用性和有效性。在实际应用中，数值算例可以验证理论分析的正确性，并且评估算法在具体问题上的性能。 本文通过建立对偶定理，运用精确罚函数法和调节熵函数法，将一类二层规划问题近似转化为无约束可微优化问题，并给出了求解算法。算法的收敛性得到了证明，并通过数值实验验证了算法的可靠性和有效性。这些知识点不仅对二层规划问题的理论研究有重要意义，也为实际应用提供了有力的工具。