数论是数学的一个分支，专注于研究整数和整数之间的关系及性质。在这篇1956年的论文中，作者探讨了定义在非负整数集上的实值数论函数，特别是在均值估计方面取得了一定的成果。数论函数，例如Euler函数ψ(n)和除数和函数σ(n)，是数论中研究的核心对象之一。Euler函数给出了小于或等于n的正整数中与n互质的整数个数，而除数和函数则给出了n的所有正除数之和。研究这些函数的分布问题对于理解数的内在结构至关重要。
在数论中，均值估计通常是指对于一系列的数学对象（如整数或素数），我们可以通过某种方式“平均”它们的某种性质，以获得该性质的典型或平均表现。例如，在研究素数分布问题时，我们可以估计一个数范围内素数出现的平均频率。均值估计在数论中非常强大，因为它可以揭示出隐藏在复杂模式之后的简单性质。均值估计的一个著名例子是素数定理，它说明了素数在自然数中的分布频率大约为1/ln(n)。
在这篇论文中，作者使用了Brun筛法，这是一种技术，用于估计整数集合中满足特定条件的整数数量。筛法的概念可以追溯到希腊数学家埃拉托斯特尼的筛法，它用于找到不大于给定数的所有素数。现代筛法是这种技术的推广，它不仅限于寻找素数，而且可以应用于许多其他类型的数论问题，如估计具有特定因子性质的数的数量。
Euler函数ψ(n)和除数和函数σ(n)是数论中两个重要的函数。Euler函数是一个重要的算术函数，其值为小于或等于n的正整数中与n互质的数的个数。它在数论的许多分支中有着重要的应用，特别是在数的解析学和素数理论中。除数和函数σ(n)则给出了一个正整数n的所有正因子之和。这个函数在研究整除性质和素数分布的问题中也非常有用。
在讨论数论函数的分布问题时，论文提到了素数分解。对于一个正整数n，如果它有素数因子p1, p2, ..., pk，那么n可以表示为这些素数因子乘积的形式，即n = p1^a1 * p2^a2 * ... * pk^ak。这是数论中一个基本且重要的概念。
此外，论文还提到了同余理论，尤其是在应用中采用了中阔剩余定理（也称为孙子定理）。同余理论是数论中的一个重要分支，研究的是整数对于某个给定正整数的同余关系。孙子定理说明了关于同余方程组的问题，特别是当模数两两互质时，如何找到一个整数解。
文章中还涉及了对数论函数值分布的更精细的结果，这对于深入理解这些函数的性质至关重要。例如，文章提到了关于素因子个数函数的分布，这有助于理解素因子在整数中的分布情况。通过研究这些函数的分布，数学家可以得到关于自然数的更深层次的洞察。而在这篇论文中，通过使用筛法和其他数论工具，作者能够在数论函数值分布的角度上提供更精密的结果。
这篇论文展示了数论中函数分布问题研究的深度与复杂性，以及作者运用高级数论技巧来解决这类问题的能力。这篇论文对数论函数值分布问题的深入探讨为后续研究提供了宝贵的参考和启发。
