第 ３５ 卷第 ３ 期
２０１２ 年 ９ 月
辽宁师范大学学报（自然科学版）
Ｊｏｕｒｎａｌｏｆ Ｌｉａｏｎｉｎｇ Ｎ ｏｒｍ ａｌ Ｕ ｎｉｖｅｒｓｉｔｙ （Ｎ ａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｅ ｄｉｔｉｏｎ）
Ｖ ｏｌ ．３５ Ｎ ｏ ．３
Ｓｅｐ ． ２０１２
收稿日期 ：２０１２‐０４‐２０
基金项目 ：国家自然科学基金项目（１１０７１０３１）
作者简介 ：王晶昕（１９５８‐ ） ，男 ，内蒙古赤峰人 ，辽宁师范大学教授 ，博士 ．
文章编号 ：１０００‐１７３５（２０１２）０３‐０２８９‐０５
带参数的二阶三角 Ｂéｚｉｅｒ 多项式曲线
王晶昕 ， 倪 静 ， 董 莹
（辽宁师范大学 数学学院 ，辽宁 大连 １１６０２９）
摘 要 ：分析讨论两类二阶三角 Ｂéｚｉｅｒ 多项式基函数的构造方法以及二阶三角 Ｂéｚｉｅｒ
多项式曲线的概念及其性质 ，研究利用带调节参数的控制点变换构造带两个调节参数
的二阶三角 Ｂéｚｉｅｒ 多项式曲线并分析它与两类二阶三角 Ｂéｚｉｅｒ 多项式曲线的关系 ．这
种曲线本质上是在利用已知的 ３ 个控制点生成 ４ 个带有参数的新的控制点 ，通过参数
的变化改变控制点的位置从而影响曲线的形状 ，以便得到最适合的曲线 ．
关键词 ：二阶三角 Ｂéｚｉｅｒ 多项式曲线 ；参数 ；控制点
中图分类号 ：Ｏ ２４１ ．５ 文献标识码 ：Ａ
三角 Ｂéｚｉｅｒ 多项式已有许多学者进行研究 ，相关文献可见文［１］ ～ ［３］等 ．但就目前已知的文献来
说三角 Ｂéｚｉｅｒ 多项式基函数都是直接定义的 ，这就给讨论其性质带来许多困难 ．笔者试图分析两类二
阶三角 Ｂéｚｉｅｒ 多项式基函数的产生的方法 ，并利用控制点变换建立这两类三角 Ｂéｚｉｅｒ 曲线之间的联
系 ．根据对带参数的 Ｂéｚｉｅｒ 曲线／曲面的讨论可知 ，参数的选取决定着所生成的曲线／曲面的类型
［４］
，
而带参数的二阶三角 Ｂéｚｉｅｒ 多项式曲线亦如此 ．对上述曲线的构造 、性质 、参数的选取对曲线形状的影
响进行讨论 ．所涉及的三角函数均定义在 ［０ ，
π
２
］ 上 ．
１ 二阶三角 Ｂéｚｉｅｒ 多项式基函数的构造及其基本性质
注意到 Ｂ ｅｒｎｓｔｅｉｎ 基函数是由 １
＝
（１
－
ｘ
＋
ｘ）
ｎ
经 Ｎ ｅｗ ｔｏｎ 展开式得到的 ，这种方法也可以用来
构造三角 Ｂéｚｉｅｒ 多项式基函数 ．由于
１
＝
１
－
ｓｉｎ ｔ
＋
ｓｉｎ ｔ
２
＝
１
－
ｓｉｎ ｔ
２
＋
２ｓｉｎ ｔ（１
－
ｓｉｎ ｔ） ＋ ｓｉｎ
２
ｔ ，
１
＝
１
－
ｃｏｓ ｔ
＋
ｃｏｓ ｔ
２
＝
１
－
ｃｏｓ ｔ
２
＋
２ｃｏｓ ｔ（１
－
ｃｏｓ ｔ） ＋ ｃｏｓ
２
ｔ ，
两边相加 ，整理可得
１
＝
１
－
ｓｉｎ ｔ
２
＋
２ｓｉｎ ｔ（１
－
ｓｉｎ ｔ） ＋ ２ｃｏｓ ｔ（１
－
ｃｏｓ ｔ） ＋ １
－
ｃｏｓ ｔ
２
，
或 １
＝
１
－
ｓｉｎ ｔ
２
＋
２（ｓｉｎ ｔ
＋
ｃｏｓ ｔ
－
１） ＋ （１
－
ｃｏｓ ｔ）
２
．
显然 ，
１
－
ｓｉｎ ｔ
２
，２（ｓｉｎ ｔ
＋
ｃｏｓ ｔ
－
１） ，（１
－
ｃｏｓ ｔ）
２
，２ｓｉｎ ｔ（１
－
ｓｉｎ ｔ） ，２ｃｏｓ ｔ（１
－
ｃｏｓ ｔ）
在 ［０ ，
π
２
］ 上都是非负函数 ．
将 Ｔ
２
０
（ｔ） ＝ １
－
ｓｉｎ ｔ
２
，Ｔ
２
１
（ｔ） ＝ ２（ｓｉｎ ｔ
＋
ｃｏｓ ｔ
－
１） ，Ｔ
２
２
（ｔ） ＝ （１
－
ｃｏｓ ｔ）
２
称为第一类二阶三角 Ｂéｚｉｅｒ 多项式基函数 ．
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