非精确Newton法的半局部收敛性 (2014年)

在数学理论及应用领域，非精确牛顿法的半局部收敛性问题一直是数值分析中的一个热点研究主题。牛顿法作为求解非线性方程的一种迭代方法，尤其在处理非线性算子方程时非常有效。传统的牛顿法要求在每一步迭代中精确求解方程，即要找到满足方程f′(xn)(xn+1-xn)=-f(xn)的解。但在实际计算中，这种精确求解往往不可行或者计算量巨大，因此提出了非精确牛顿法的概念，它不要求精确求解该方程，而是使用某种近似解，从而减少了计算的复杂度。 非精确牛顿法的收敛性分析主要分为两种类型：局部收敛性分析和半局部收敛性分析。局部收敛性分析要求对解的存在性有一定的先验知识，即假设解位于某一个邻域内。而半局部收敛性分析则不假设解的存在性，它只需要根据初始近似满足某些条件，然后根据迭代公式寻找解的存在性和收敛性。这种方法对于非线性算子方程的求解具有更大的灵活性。 文中引入了中心γ0-条件及γ-条件，这些条件是研究非精确牛顿法半局部收敛性的重要工具。γ-条件可以看作是一种改进的Kantorovich条件，它能够提供更精确的误差估计和更优化的收敛性分析结果。通过引入这些条件，研究者能够得到关于非精确牛顿法半局部收敛性问题的更优结果。具体来说，这些条件能够帮助研究者对非精确牛顿法在迭代过程中的误差进行更准确的控制和估计，从而保证了迭代序列的收敛性。 非精确牛顿法的核心算法步骤包括：给定初始近似值，然后进行迭代，每次迭代计算残差并求解线性方程组以得到新的迭代值，直到序列收敛。迭代中，残差的选择对非精确牛顿法的收敛性有直接影响。研究者通过改进和调整残差的选择条件，可以进一步提高算法的性能。 此外，文章还提到，如果非线性算子f′(xn)很大且稠密时，传统的牛顿法会变得无效。然而，在采用非精确牛顿法的情况下，通过使用线性迭代求解方法，可以克服这种困难，从而使得算法依旧能够有效收敛。 文章最后指出，非精确牛顿法的半局部收敛性问题的研究结果，不仅在理论上具有重要意义，而且在实际应用中也具有广泛的适用性。通过更深入的研究，可以为求解非线性方程的算法设计提供更为科学的理论依据，对于提高计算效率和保证计算结果的准确性具有重要价值。 值得注意的是，文章中提及的研究成果得到了国家自然科学基金的资助，这表明了该研究得到了国家层面的重视和支持，科研成果是具有一定的创新性和实用价值的。研究团队成员王铭、何金苏和沈卫平，均来自于浙江师范大学数理与信息工程学院，其研究方向和成果体现了该学院在非线性数值逼近领域的研究水平。通信作者何金苏教授，作为该领域的研究者，其团队的研究成果为国内外学者所关注，并在相关领域产生了积极的学术影响。