文章《二次logistic方程的全局稳定性》主要研究了具有二次项的logistic方程的动态行为，以及它的正平衡点的全局稳定性条件。这一研究对于理解生物种群模型的动力学特征有着重要的意义。
logistic方程是一种常用的数学模型，用来描述在特定环境条件下的生物种群增长情况。经典的logistic模型表达式为X' = rX(1-X)，其中X表示种群大小，r是增长速率常数，而1-X是环境的承载能力限制因子。而二次logistic模型则是对经典logistic方程的一种扩展，它在原有模型的基础上添加了一个二次项，即形式为X' = rX(1-X)-aX^2，其中a为新加入的二次项系数。二次项的引入旨在更准确地描述种群间的相互作用对种群增长的影响，例如捕食关系、竞争关系等。
文中提到的全局稳定性，是指在动态系统中，不管初始状态如何，随着时间的推移，系统的所有解最终都会趋近于平衡状态。在logistic模型中，这意味着种群的数量会稳定在一个特定的水平上，而不会无限制增长或灭绝。
文章在研究时，借鉴了一些已有的关于logistic方程稳定性的理论，例如时滞logistic方程的研究，以及一些关于振动性和全局吸引性的定理。作者运用了Cull定理和不等式估计的方法，对二次logistic方程的正平衡点进行了深入分析，最终得到了正平衡点全局稳定的充要条件。
对于二次logistic方程，全局稳定的充要条件是方程的参数满足特定的关系。文章中提到了一个关键的数学表达式：r(x+2ax^2)≤2，这个表达式定义了在何种条件下，二次logistic模型的正平衡点是全局稳定的。这个条件表达了参数r和a对系统稳定性的影响，实质上它涉及到函数的导数的大小。当导数的绝对值小于1时，函数在对应点上局部稳定，而全局稳定则是要求在正平衡点处导数的绝对值一直小于1。这是利用Cull定理得出的结论。
文章中的关键引理是针对一般的一维离散动态系统提出的，描述了函数在平衡点处的导数与其局部稳定性之间的关系。当函数在平衡点的导数的绝对值大于1时，平衡点局部不稳定；当导数的绝对值小于1时，平衡点局部稳定；而当导数的绝对值等于1时，则需要对函数进行更深入的分析，才能判断平衡点的稳定性。这些结论为分析二次logistic方程提供了理论依据。
文章通过严格的数学推导和证明，给出了二次logistic方程正平衡点全局稳定的充分必要条件，为后续相关研究提供了重要的理论基础。这对于研究生物种群动态、预测种群发展趋势以及制定合理的资源管理策略等都具有重要的理论和实际意义。
