清华大学学报〈自然科学版〉
1996
年第
36
卷
Journal
of
Tsinghua University (Sci
&.
Tech)
第
3
期第
106~112
页
正交最小二乘算法及其应用
顾启桑
'
清华大学精密仪器与机械学系，北京
100084
文
摘
介绍了正交最小二乘法的算法原理，同经典的最小二乘法相比，其数值稳定性好、计算
量小，能节省大量存贮空间。应用了
Householder
变换、
Givens
变换和它的逆变换
3
种算法。根
据残差矢量最小准则，将该法用于
ARMA
模型结构辨识和时变
AR
模型参数估计，取得了满意
的仿真结果.
关键词最小二乘法;正交变换
s
辨识和参数估计
分类号
0212.1
,
024
1.
2
设线性方程组
Ax=B
式中
:A
ε
R
mX
•
，
m>n
为列满秩阵
，
BERm
,
xER.
。
由上述方程的法方程
(1)
ATAx - ATB = 0
(2)
求解最小二乘解
x
。当
A
的条件数不很大，计算机有足够的精度时，直接解方程
(2)
即可得到
x
。但是从数值计算的观点来看这并不是一个好的算法，因为法方程的系数短阵为
ATA
，
当
A
的维数较高时，会引入较大的舍入误差。更主要的是
ATA
的条件数为
A
的条件数的平方，当
A
的条件数较大，而计算机的精度又有限时，由解法方程的方法来求最小二乘解缺乏足够的数值
稳定性，因此有必要探讨具有更好数值稳定性的算法。
1
正交最小二乘算法
令互
=[AI-BJ
，
王
=[Xl
l]
T
，对互左乘
HjtH2'
…
，
H.+I
Householder
变换阵[口，将互约化
为上三角阵
叫
ijjjj
(3)
式中
H=H
肿
1
…
H2HI'
每个
Hi
是使互的第
t
列对角线以下元素化为零。用非正式语言描述上
述算法如下:
算法
1
For
k=1
，
2
，
…
，
n
十
1
收稿日期:
1995-04-11
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