树结构总结及习题.docx

### 树结构总结及习题知识点 #### 一、概述 树是一种非线性的数据结构，它由数据元素（称为结点）按照分支关系组织而成。这种结构在自然界和社会组织中都有体现，例如家族谱系和社会组织架构。在计算机科学领域，树结构同样有着广泛的应用。例如，在编译过程中可以用树形结构来表示源代码的语法结构；在数据库系统中，树形结构常常用于组织信息。 #### 二、树结构定义及基本概念 ##### （一）定义 树由n（n > 0）个结点组成的一个有限集合。具体来说： 1. **结点**：每个元素称为结点。 2. **根结点**：树中有一个特殊的结点，称为根结点。 3. **子树**：除根结点外的所有结点可被划分为m（m >= 0）个互不相交的有限集合，每个集合又是一棵树。 ##### （二）基本概念 - **度**：树的度是指树中各个结点的最大分支数。度为0的结点称为叶结点或终端结点；度不为0的结点称为分支结点或非终端结点，除了根结点外的分支结点统称为内部结点。 - **深度**：树的深度是指树中所有结点的最大层次。 - **层次**：根结点位于第1层，其他结点的层次为其父结点的层次加1。 - **路径**：树中任意两个不同结点间可能存在一条路径，这条路径由一系列结点组成，路径的长度为经过的结点数减1。 - **森林**：森林是指若干棵互不相交的树的集合。 #### 三、各种树结构特性、基本操作及特性 ##### （一）二叉树 **定义**：二叉树是一个有限结点的集合，可能为空，如果非空，则由一个根结点以及两个互斥且不相交的有限集合（左子树和右子树）组成。 **特性**： - 二叉树的高度与结点数量的关系：若高度为h，则二叉树最少有h个结点，最多有\(2^h - 1\)个结点。 - 完全二叉树的特殊性质：对于完全二叉树中的任一结点，可以通过其索引值快速找到其父结点、左孩子和右孩子的索引值。 - 度为0的结点数 = 度为2的结点数 + 1。 **表示及常用操作**： - **表示方法**：可以使用数组、链表、三叉表示法等。 - **常用操作**：包括但不限于确定高度、元素数目、复制、显示、比较、删除等。 **二叉树遍历**： - **前序遍历**：根->左->右 - **中序遍历**：左->根->右 - **后序遍历**：左->右->根 - **层次遍历**：按层次顺序依次访问每个结点。 **其他类型**： - **满二叉树**：每一层的结点数都是最大值的二叉树。 - **完全二叉树**：除了最后一层外，每层的结点数都是最大值，最后一层的结点都集中在左侧。 - **二叉树表示树与森林**：通过特定方式将普通的树结构或森林转换为二叉树。 ##### （二）二叉排序树 **二叉排序树**（Binary Search Tree, BST）是一种特殊的二叉树，其中每个结点的键值大于所有左子树结点的键值，小于所有右子树结点的键值。二叉排序树支持高效的查找、插入和删除操作。 **AVL树**：一种自平衡的二叉搜索树，任何结点的两个子树的高度差至多为1。 **B树与B+树**：在数据库和其他磁盘存储应用中使用的一种自平衡搜索树。 ##### （三）竞赛树 **胜（赢）者树**：一种用于比赛或竞赛中记录胜利者的特殊树结构。 **败（输）者树**：一种用于记录失败者的特殊树结构。 #### 四、习题类型 针对以上提到的各种树结构，常见的习题类型包括但不限于： 1. **二叉树的遍历**：根据给定的顺序进行遍历。 2. **二叉树与树、森林之间的转换**：如何将普通树转换为二叉树，或将二叉树转换为森林。 3. **二叉搜索树的基本操作**：包括插入、删除、查找等。 4. **AVL树的构造与操作**：构建AVL树，并执行旋转操作保持平衡。 5. **基于二叉树特性的习题**：设计问题以测试对二叉树特性的理解，例如高度与结点数的关系等。 通过对这些知识点的学习和练习，可以加深对树结构的理解，并掌握相关的编程技巧。