图论是离散数学的一个重要分支，主要研究点与点之间相互连接的结构。上述题目涉及到了图论中的几个核心概念，包括树、完全图、割边、连通性、有向图、无向图、边数、度数、最小生成树、最短路径和网络流等。
1. **树**：树是一种特殊的图，它没有环路并且是连通的。题目中提到，从一个5个顶点的完全图中删除一条边可以得到树。完全图K_5有10条边，删除任何一条边都会使得图成为树。
2. **连通图与树的关系**：一个无回路的连通图即为树。同时，如果一个连通图删去任意一条边就不再连通，那么它也是树。5阶无向完全图的边数为10，因为对于n个顶点的无向完全图，边数为n(n-1)/2。
3. **度数**：图中每个节点的度数是指与其相连的边的数量。若一个图中每个节点的度数不是k就是k+1，那么度数为k+1的节点数可以通过总边数和k度节点数来计算。总边数等于所有节点度数之和除以2，这里涉及了握手定理。
4. **强连通图、单向连通图、弱连通图和不连通图**：强连通图是有向图中任何两个顶点都互相可达，单向连通图是所有顶点可以通过单向边到达其他所有顶点，弱连通图是去掉所有边的方向后变为连通图，不连通图则是图中存在未连接的子图。
5. **有向图的边数**：n个结点的完全有向图含有边的数目为n(n-1)，因为每一对不同的节点间都有一条有向边。
6. **无向图的边数**：无向简单图的边数最多为n(n-1)/2，这对应于完全图；最少为n-1，对应于树。
7. **边数与连通性的关系**：一个有n个结点的连通图至少有n-1条边。
8. **入度与出度**：在一个无向图中，所有顶点的入度之和等于所有顶点出度之和，因为每条边贡献了两次度数（一次作为入度，一次作为出度）。
9. **割边**：割边是图中删除后会导致连通性破坏的边。一棵树没有割边，而连通图G是一棵树当且仅当所有边都不是割边。
10. **生成树**：4个顶点的完全图K_4有6条边，生成树是其子图且仍然连通，所以K_4的生成树个数为16。
11. **算法应用**：
- **一笔画**：图(a)可以一笔画出，因为它没有奇数度的节点；图(b)不能，因为有两个奇数度的节点。
- **Kruskal算法**：用于找到图的最小生成树，具体步骤未给出，但结果是权值之和为38。
- **中国邮路问题**：寻找以某个节点为起点的遍历所有节点的路径，通常通过深度优先搜索或广度优先搜索解决。
- **Dijkstra算法**：求解最短路径问题，从顶点1出发到其余各点的最短路径。
- **最大流问题**：求图中从源点到汇点的最大流量，可以使用Ford-Fulkerson或Edmonds-Karp算法。
12. **网络流**：题目中给出了两个最大流问题，分别需要求解从源点S到汇点T的最大流量，可以通过增广路径的方法来解决。
以上是对图论练习题中涉及的知识点的详细解释，这些概念和算法在图论和网络优化等领域中有广泛应用。
