《矩阵级数与矩阵函数》
在数学领域，特别是线性代数中，矩阵级数与矩阵函数是研究矩阵运算的重要工具。本讲主要探讨了矩阵序列的收敛性、矩阵级数的概念及其性质，以及方阵的幂级数。
矩阵序列是一个由矩阵构成的序列，例如{}( )kA。当序列中的每个矩阵元素( )kkijAa随着k趋向于无穷大而稳定，即( )kijijaa→，我们称该序列收敛，并将极限记为( )ijAa或( )kkAA→∝。如果序列没有这样的极限，我们就说它是发散的。发散序列可以进一步分为有界和无界两类。有界矩阵序列指的是存在常数M>0，使得对所有k，( )kijaM<都成立。
关于矩阵序列的收敛性质，有以下几点：
1. 如果两个序列{}( )kA和{}( )kB分别收敛于A和B，那么它们的和( )( )kkkABAB→∝+→+αβαβ也收敛于A+B。
2. 序列的乘积( )( )kkkABAB→∝→也收敛于AB。
3. 如果序列的负倒数( )11() ,kAA−−存在且收敛，那么( )11()kkAA−−→∝→。
4. 若矩阵P和Q都使序列收敛，那么( )kkPA QPAQ→∝→。
矩阵的收敛性有特定的条件：一个方阵A为收敛矩阵，当且仅当它的所有特征值的模值小于1。这是因为对于任何方阵A，总能找到可逆矩阵P，将A转化为Jordan标准形J，通过变换我们可以证明，A的收敛性与J的元素收敛性直接相关，而J的元素正是A的特征值λ的幂次形式。只有当|λ_i|<1对所有i成立时，A才是收敛的。
矩阵级数是由矩阵构成的无穷和，记为( )1kk∞=∑A。如果序列{}( )NS收敛且有极限S，那么级数( )1kk∞=∑SA收敛。绝对收敛矩阵级数是所有元素绝对收敛的级数，它具有稳定性，即使重新排列项，其收敛性和和都不会改变。
方阵的幂级数如00,()kkkc AAI∝==∑，其中Neumann级数0kkA∝=∑的收敛性要求A为收敛矩阵，且其和为1()IA −−。这个级数的收敛性可以通过分析特征值的模值小于1来证明。另一方面，如果矩阵A的特征值都在某个幂级数的收敛圆内，那么对应的矩阵幂级数是绝对收敛的；反之，如果存在特征值落在收敛圆外，那么该级数发散。
矩阵级数和矩阵函数的研究在控制理论、信号处理、微分方程求解等多个领域都有广泛应用，是理解和解决复杂系统问题的关键工具。了解和掌握这些概念，有助于深化对线性系统的理解和操作。
