《窄域上2D弱阻尼KdV方程的blow-up研究(2000年)》这篇论文探讨了二维弱阻尼Korteweg-de Vries (KdV)方程在有限区域内的动态行为，特别是关于blow-up时间的估计。在数学领域，blow-up是指解在有限时间内发散或失去意义的现象，这是非线性偏微分方程研究中的一个重要课题。
2D弱阻尼KdV方程可以表示为：
\[ u_t + u_{xxx} - \eta\Delta u + \gamma u + (u\cdot\nabla)u = 0, \]
其中，\( u \)是二维空间中的标量场，\( \eta, \gamma > 0 \)分别代表阻尼系数，\( \Delta \)是拉普拉斯算子，\( \nabla \)是梯度算子，\( u_t \)和\( u_{xxx} \)分别表示时间导数和空间的三次导数。方程在周期边界条件下的定义域是 \( \Omega_\epsilon = [0,2\pi] \times [0,2\pi\epsilon] \)，其中 \( \epsilon \)是一个小于等于1的小数，表示窄域的宽度。
该论文基于前人的工作，如Lax提出的2D KdV方程，以及关于耗散孤立波方程解的存在性研究，进一步探讨了在窄域上的动力学行为。研究的核心在于估计解在窄域中blow-up的时间，这涉及到高维动力系统的复杂性。
论文引入了新的范数和内积定义，如\( L_p(\Omega_\epsilon) \)范数和\( L_2(\Omega_\epsilon) \)的正交投影算子\( M \)，这些工具帮助分析解的行为。通过变量变换和算子定义，如\( \nabla_\epsilon \)和\( \Delta_\epsilon \)，将问题转化为标准的Sobolev空间框架，从而利用Sobolev不等式进行分析。
此外，作者还定义了一个仅包含一个变量的函数子空间，并证明了\( M \)是一个正交投影算子，这有助于分解解为两个部分：一部分与变量\( y_1 \)有关，另一部分与\( y_2 \)有关。这种分解有助于理解解的结构和动态。
这篇论文为理解2D弱阻尼KdV方程在窄域中的长期行为提供了关键的理论成果，特别是关于blow-up时间的估计，这对于深入探索高维非线性动力系统的行为具有重要意义。通过细致的数学分析和计算，论文为未来的理论研究和应用奠定了基础。
