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Bessel函数展开法应用于含源修正的KdV-Burgers方程与 mKdV-Burgers方程

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Bessel函数展开法应用于含源修正的KdV-Burgers方程与 mKdV-Burgers方程，马双双，周宇斌，在这篇文章中我们提出了以Bessel方程为辅助方程, 并将拟解形式加以变化的Bessel函数展开法. 当Bessel方程的变系数取不同的系数组合时我

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Bessel 函数展开法应用于含源修正的KdV-Burgers 方程

与mKdV-Burgers 方程

马双双

∗

周宇斌

兰州大学数学与统计学院，甘肃省兰州市(731000)

摘摘摘要要要: 在这篇文章中我们提出了以Bessel方程为辅助方程, 并将拟解形式加以变化的Bessel函

数展开法. 当Bessel方程的变系数取不同的系数组合时我们可以得到以指数函数, 误差函数, 指数

积分函数, Airy函数,以及Whittaker函数表示的解, 而不仅仅局限于一种Bessel函数为辅助函数.

利用这一方法, 我们成功地得到了含源修正的KdV-Burgers方程与mKdV-Burgers方程的精确解.

关关关键键键词词词：Bessel方程, 函数展开法, KdV-Burgers方程, mKdV-Burgers方程, 精确解.

中中中图图图分分分类类类号号号：O24 计算数学

1 关关关于于于辅辅辅助助助方方方程程程方方方法法法中中中的的的Jacobi 椭椭椭圆圆圆函函函数数数展展展开开开法法法的的的简简简单单单介介介绍绍绍

设有非线性偏微分方程

F (u(x, t), u

, u

, ···) = 0. (1.1)

通过形波变换

ξ = kx − ωt, (1.2)

我们可以将非线性偏微分方程(1.1)化为非线性常微分方程

F (u(ξ), u(ξ)

, u(ξ)

ξξ

, ···) = 0. (1.3)

拟设u(ξ) 的形式为

u(ξ) =

i=M

i=0

φ(ξ), (1.4)

其中φ(ξ) 满足如下形式的Jacobi 椭圆方程

(φ(ξ)

)

= q

+ q

φ(ξ)

+ q

φ(ξ)

, (1.5)

, q

为任意实常数.

∗

e-mail: mshcm@163.com

http://www.paper.edu.cn

由齐次平衡原则 [1], 我们可以确定出M 的值. 将方程(1.5)与

u(ξ) =

i=M

i=0

(ξ)φ(ξ)

代入方程(1.1), 令φ(ξ)

(i为整数)的系数为0, 从而得到关于a

(ξ) 的若干方程. 求解这些方程从而

可以得到a

(ξ), 进而我们就由

u(ξ) =

i=M

i=0

(ξ)φ(ξ)

得到u(ξ). 近几年中有许多文献提出了关于辅助方程方法, 即函数展开法, 在解的拟设形

式( [2]- [6])、或Jacobi 椭圆方程(1.5)( [2]、 [5])、或形波假设方面( [7]、 [8]) 等方面的改进. 在

这篇文章中, 我们对辅助方程方法提出了新的拟解形式与选取新的辅助方程, 得到了Bessel 函数

展开法, 从而得到含源修正的KdV-Burgers方程与mKdV-Burgers方程的行波解.

2 Bessel 函函函数数数展展展开开开法法法应应应用用用于于于含含含源源源修修修正正正的的的KdV-Burgers方方方程程程

我们采用KdV-Burgers方程来说明Bessel 函数展开法. 有含源修正的KdV-Burgers方程 [9]如下

p=1

+ γu

+ cu

xxx

q=1

. (2.1)

设有自变量变换

λ = λ(x, t)

从而方程(2.1)可化为

(λ

+ γλ

+ cλ

xxx

+ λ

p=1

+ (γλ

+ 3cλ

λλ

+ λ

λλλ

q=1

. (2.2)

拟设u(λ) 可表为以下形式

u(λ) = d

(λ) + d

(λ, F (λ))F (λ) + d

(λ, F (λ))F (λ)

. (2.3)

由于F (λ)为λ的函数, 所以我们可认为d

(λ, F (λ)) = d

(λ), d

(λ, F (λ)) = d

(λ). 其中F (λ) 满

足Bessel方程

F (λ)

= P

(λ)F (λ) + P

(λ)F (λ)

. (2.4)

由上式可知F (λ)

(n)

总可表为F (λ) 与F (λ)

的形式. 由领头项分析可知, 平衡方程(2.2)中的两非

线性项, 我们得到条件

Q = P + 1.

http://www.paper.edu.cn

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