在这篇文章中，作者林林、赵亚莉和王婷探讨了在Banach空间中广义向量似变分不等式解的存在性问题，并成功地利用Brouwer不动点定理证明了在没有单调性的条件下该类不等式解的存在性。为了深入理解文章的内容，我们首先需要熟悉几个关键概念：Banach空间、向量变分不等式、Brouwer不动点定理以及凸性。
Banach空间是一类完备的赋范线性空间，在泛函分析中占据重要位置。一个赋范线性空间是指一个线性空间，其中定义了范数概念，并且可以通过范数诱导出距离，从而形成一个距离空间。完备性意味着在这个空间内任何柯西序列都会收敛于空间中的一个点，即该空间是闭合的。Banach空间的研究是泛函分析的核心内容之一。
向量变分不等式是变分不等式的一种推广，它研究的不是简单的标量关系，而是向量之间的关系。变分不等式问题起源于力学和经济学，后来成为数学和计算数学中的一个基础问题。这类问题通常涉及寻找一个点，使得在某个约束条件下，该点与约束集合的某个方向的投影的内积非负。广义向量似变分不等式则是进一步推广了的标准向量变分不等式的概念，其在定义中可能涉及到更一般的运算或者不等式结构。
Brouwer不动点定理是代数拓扑中的一个基础定理，由L.E.J. Brouwer于1912年提出。该定理指出，在一个有限维的、闭合且凸的集合上，任何一个连续映射都至少有一个不动点。也就是说，存在一个点，该点经过映射后，其位置不变。这个定理在数学理论研究和工程实践中有广泛的应用，是实分析和微分方程等领域的基石。
C(x)-凸性是一个特殊的凸性概念，涉及到函数在给定点x上的凸性质。它可能是这篇论文中提出的一个新概念，因为文献中并没有广泛提及，或者可能是传统的凸性概念在特定领域的变体。由于文献的OCR扫描识别有误，具体细节无法准确得知。
锥（cone）在数学中是具有方向性的集合概念，通常是指在实数域上定义的一个向量集合，如果集合中的任意两个向量的和依然在该集合中，并且集合对数乘也是封闭的，那么这个集合就构成了一个锥。锥在凸分析、优化理论等领域中有着重要的应用。
通过上述的术语解释，我们可以大概了解文章的学术背景和技术路线。文章利用了Brouwer不动点定理，其核心思想是利用集合的完备性和凸性来保证解的存在性。在这种设置中，即使函数不满足单调性条件，也可能存在一个固定的点，该点是问题的解。这提供了一个在数学上更广泛、更灵活的解决向量变分不等式问题的方法。
由于作者使用的是“广义向量似变分不等式”这一术语，这暗示了其理论框架可能涵盖了比传统变分不等式更广泛的问题。因此，本文的研究结果不仅对纯数学理论有重要的意义，也对实际问题的数学建模和求解具有潜在的应用价值。不过，由于扫描文本中存在识别错误，无法提供更精确的数学公式和具体定理表述。在进一步的研究和应用中，需要参考完整、准确的数学文献。
