时间尺度分析是一种用于统一连续与离散数学分析的理论框架。时间尺度是一个非空的实数闭子集，它将经典微分方程与差分方程的理论统一起来。在时间尺度上研究动态积分不等式，是通过引入调整参数来提供未知函数改进界限的一种方法，这些不等式可以应用于某些类别动态方程的定性理论研究中。
亚线性动态积分不等式的研究，不仅能够帮助我们理解未知函数的上下界限，而且能够将许多现有的文献中的特殊情况包括在内。这些不等式的研究为时标上的动态方程提供了新的工具，使得我们能够在更为广泛的数学模型中进行定性分析。
文中提及的Hilger的里程碑式论文，标志着时间尺度理论的正式建立。该理论的核心观点是，通过定义时间尺度上的微分和积分，可以将连续和离散的分析统一起来。在时间尺度上，一个经典的例子是实数集或整数集，这两种特殊情况分别对应于经典的微分和差分方程理论。
此外，本文的研究还提到了一些在量子理论中具有重要应用的时间尺度，例如，T_q（q>1），它由所有形式为q^n（n为整数）的元素构成，也有其它有趣的时间尺度，如T_hN（h>0），N^2以及H_n（谐波数空间）。
文中提到了最近的研究成果，许多作者已经开始将一些连续和离散的积分不等式扩展到任意的时间尺度上。举例来说，参考文献[2-14]中已经有许多相关的研究。本文的目的是进一步研究最近一篇文章[6]中已经研究过的一些亚线性积分不等式。通过引入两个调整参数α和β，本文首先推广了一个在[6]中证明主要结果时所依赖的基本不等式。然后，为未知函数提供了改进的界限，这些界限包含了现有文献中的许多结果。
总而言之，时间尺度上的亚线性动态积分不等式研究，是对连续和离散数学分析的有益补充，它们不仅能够揭示系统行为的基本特征，而且在现代数学物理问题，尤其在控制理论和最优控制等问题中有着广泛的应用。通过不断地拓展和深化这一领域的研究，可以期待在未来的数学和工程实践中开发出更加精确和有效的分析工具。
