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第5周习题课 数列 实数 (2) 题目1
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2022-08-03
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1. 证明 2. 求 3. 求 5. 下列哪些命题与柯西准则等价,证明你的结论或举出反例 6. P.23,第 7 题 7. 设 9. 设
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1
微积分 A(1)第 5 周习题课
一.实数理论(单调有界,夹逼定理,柯西收敛准则) 续
1. 证明
2
1
1
lim 1 1
4
n
n
k
k
n
。
2. 求
2
lim
n
n
n
na
(
0a
)。
3. 求
2
1
lim( !)
n
n
n
。
4. 证明:下列数列收敛
(1)
2
2
1 1 1
(1 )(1 ) (1 )
22
2
n
n
x
;
(2)
2
1 1 1
(1 )(1 ) (1 )
2 2 2
n
n
x
;
类似的(3)
22
(1 )(1 ) (1 ), | | 1
n
n
x a a a a
;
(4)
2
(1 )(1 ) (1 ), | | 1
n
n
x a a a a
。
5. 下列哪些命题与柯西准则等价,证明你的结论或举出反例。
(1)对于任意的
+
Np
,均有
lim( ) 0
n p n
n
aa
。
(2)
0
,
+
NN
,只要
nN
,就有
||
nN
aa
(3)
0
,
+
NN
以及
RA
,只要
nN
,就有
||
n
aA
6. P.23,第 7 题
证明:若数列
{}
n
a
无界,但不趋于无穷,则
{}
n
a
存在两个分别趋于无穷和收敛的子列。
7. 设
n
nn
qaqaqaab
2
210
,其中
1q
且数列
k
a
有界,试证数列
n
b
收敛.
8. 已知 Kepler 方程为
0
sin (0 1)x y x
,
df595420469
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