第4周习题课 数列 实数 (1) 题目(1)1
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2022-08-03
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1
习题课（第 4 周）数列，实数
1. 设
,AB
均是由非负实数构成的有界数集，定义
{ | , }AB xy x A y B
。证明：
（1）
sup sup supAB A B
； （2）
inf inf infAB A B
2. 设
,AB
均是非空有界数集，定义
+ { + | , }A B x y x A y B
。证明：
（1）
inf( ) inf infA B A B
； （2）
sup( ) sup supA B A B
3. 设
0, 1ka
，证明：
lim 0
k
n
n
n
a
.
4. （1）证明：数列
1
1
1
n
n
单调减；
（2）证明：数列
1 1 1
1 ln
23
n
an
n
收敛；
（3）求数列
1 1 1
12n n n n
的极限。
5. （P18,4）证明极限
lim
n
n
a
存在：
（1）
23
1 1 1
1
23
n
n
a
n
（2）
2
1 1 1
1 1 1
2 2 2
n
n
a
（3）
2 2 2
1 1 1
1 1 1
23
n
a
n
6. P.24，第 10 题
假设序列
{}
n
x
由如下递推关系生成，证明它们收敛，并求它们的极限。
（1）
1
1
2
nn
n
xx
x
，
2n
，
1
x
，
2
x
给定实数；
（2）
11n n n
x x x
，
2n
，
1
x
，
2
x
为给定正数。
7. 设
1
1
aa
，
a
为常数，
n
nn
a
a
aa
1
1
2
1
，
),2,1( n
，证明极限
申增浩
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