微积分A1第6章总复习题参考答案_2530096251
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2022-08-03
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第 6 章总复习题参考答案
1. 略。
2. 判断下列积分的敛散性
（1）
2
0
sin
p
x
dx
x
（2）
/2
0
cos ln(tan )x x dx
解：（1）
2
2
sin 1
0 , ,
pp
x
x
xx
时
2
11
2
00
sin 1
3
pp
x
dt dt p
xx
收敛 收敛 .
22
1
sin 1 sin
1 , ,
p p p
xx
p dt
x x x
时 收敛.
0 1 ,p时
2
1 1 1
sin 1 cos2
,
22
p p p
xx
dx dx dx
x x x
由 Dirichlet 判 别 法 ，
1
cos2
2
p
x
dx
x
收敛，而
1
1
2
p
dx
x
发散，故
2
1
sin
p
x
dx
x
发散。
0,p 时
22
2 3 /4 2 3 /4 2 3 /4
0 2 /4 2 /4
11
sin sin 1
,
24
nn
n k k
pp
kk
kk
x x n
dx dx dx
xx
故
2
1
sin
p
x
dx
x
发散。
综上，
2
0
sin
p
x
dx
x
（绝对）收敛
13p .
（2）
/2 /2 /2 0
lim cos ln(tan ) lim cos ln(sin ) lim cos ln(cos ) 0 lim ln 0.
x x x t
x x x x x x t t
因
此
2
不是瑕点，
0
是唯一瑕点。而
2
0 0 0
cos ln(tan )
ln(tan ) sec / tan
lim lim lim 1,
ln ln 1/
x x x
xx
x x x
x x x
/4 /4
/4
0
00
ln ln (ln 1),
44
xdx x x dx
收敛,
因此
/4
0
cos ln(tan )x x dx
绝对收敛，
/2
0
cos ln(tan )x x dx
绝对收敛。
3. 判断广义积分
1
1
sin sinx dx
x
的绝对收敛性与条件收敛性
解：
1
1
,sin 0, sin 2,
x
x tdt
x
时 单调趋于
由 Dirichlet 判别法，
1
1
sin sinx dx
x
收
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