复变 2011.1 杨晓京1
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复变函数试题（B卷） 杨晓京
January 5th, 2011
共10题，每题10分
(1) (a) 求cos(3x + 2yi)的实部、虚部。(b) 求(4i)
i
的一般解。
(2) 写出关于幂级数
∑
∞
n=0
a
n
z
n
的Abel定理以及收敛半径的定义，并证明：如果级
数
∑
∞
n=0
a
n
r
n
收敛，而
∑
∞
n=0
|a
n
|r
n
发散，则
∑
∞
n=0
a
n
z
n
的收敛半径为r，这里r是某
个正实数。
(3) (a)对解析函数f(z) = u(x, y) + iv(x, y)，写出其满足的Cauchy-Riemann公式，并
用u, v的偏导数写出导数f
′
(z), f
(n)
(z)。
(b)若函数f(z) = u(x, y) + iv(x, y)处处解析，证明其满足Laplace方程
∂
2
v
∂x
2
+
∂
2
v
∂y
2
= 0
(4) 求实积分：
(a)I
p
=
∫
2π
0
dθ
1 − 2p cos θ + p
2
(−1 < p < 1)；(b)J
a
=
∫
+∞
0
x sin(2x)
x
2
+ a
2
dx (a > 0)。
(5) 求以下积分：
(a)I
n
=
I
|z|=3
dz
1 + z
n
(n ∈ N
∗
)；(b)J
m
=
I
|z|=1
cos(2z) − 1
z
m
dz (m ∈ Z)。
(6) 设a, b, c, d均为实数，且ad − bc > 0。证明分式线性映射w(z) =
az + b
cz + d
将上半复平
面Iz > 0映射到上半复平面Iw > 0，且实轴正向映射到实轴正向。
(7) 求分式线性映射w(z)分别将z
k
= 0, 1, ∞映射到w
k
= 1, i, −1，并将其简化为w =
(az + b)/(z + d)的形式。
(8) 求一般的分式线性映射将圆|z − 1| < r映射为圆|w − i| < R，且w(0) = i，其
中r, R ∈ R, r > 1, R > 0。
(9) 求一个映射将区域D
2
= {z : a < Rz < b}映射到单位圆|w| < 1，其中a, b ∈ R, 0 <
a < b。
(10) 写出单位圆|z| < 1映射到单位圆|w| < 1的一般方程，并利用此方程证明以下不变
式：
|dw|
1 − |w|
2
=
|dz|
1 − |z|
2
不解释……跟前两年的题几乎没有任何差别（好几题连数字都一样！）……
1
申增浩
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