复变函数试卷-杨晓京1
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2022-08-03
17:55:21
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这份卷子是杨大爷的题库题中的一部分，务必认真做。
1、(a)设𝑓 𝑧 = 𝑢 𝑥, 𝑦 + i𝑣 𝑥, 𝑦 处处解析，写出𝑓 𝑧 的 Cauchy-Riemann 条件，
并用𝑢, 𝑣的𝑛阶偏导给出𝑓
!
(𝑧)的表达式；
(b)设𝑓 𝑧 = 𝑢 𝑥, 𝑦 + i𝑣 𝑥, 𝑦 处处解析，证明𝑢 𝑥, 𝑦 满足 Laplace 方程。
2、(a)写出cos 3𝑥 + 2𝑦i 的实部、虚部；(b)求 4i
!
的一般值。
3、求以下复积分：
(a)!𝐼 =
d!
!!!
!
! !!
(b)!𝐽 =
!"# !!-1
!
!
! !!
d𝑧
4、求以下实积分：
(a)!𝐼 =
d!
!!!! !"# !!!
!
!!
!
其中−1 < 𝑝 < 1；
(b)!𝐽 =
! !"# !!d!
!
!
!!
!
!
∞
!
5、(a)叙述 Abel 定理以及收敛半径的定义；
(b)证明：若 𝑎
!
𝑟
!
!
∞
!!!
收敛， 𝑎
!
𝑟
!
!
∞
!!!
发散，则原级数收敛半径为𝑟 。
6 、求将 𝑧 − 1 < 𝑟 映射成 𝑤 − i < 𝑅 的 分式线性映射的一般形式，其中
𝑟 > 1, 𝑅 > 0。
7、求将𝑎 < Re 𝑧 < 𝑏映射成 𝑤 < 1的映射，其中𝑎 < 𝑏, 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ
8、若𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 ∈ ℝ，且𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 > 0，证明分式线性映射𝑤 =
!"! !
!"!!
将上半平面正向
映射成上半平面，即把实轴正向映射成实轴。
9、求将𝑧
!
= 0, 𝑧
!
= 1, 𝑧
!
=
∞
映射成𝑤
!
= 1, 𝑤
!
= i, 𝑤
!
= −1的分式线性映射，
要求最终表达式的形式为𝑤 =
!"! !
!!!
。
10、求将 𝑧 < 1映射成 𝑤 < 1的分式线性映射的一般表达式，并证明
d𝑤
1 − 𝑤
!
=
d𝑧
1 − 𝑧
!
下面是一些学长的回忆：
2、Liouville 定理的证明
7、写出从
2
0
<− zz
到
1
0
<−
ωω
的分式线性映射
8、写出由
aaz <−
和
bbz >−
围成的区域到单位圆盘
1<
ω
的映射（a>b>0）
10、将
)1(
1
)(
zz
zf
−
=
在指定区域
1<z
和
11 <−z
展开成洛朗级数
1:解方程:e^z=1+i
2:求:(-8i)^(1/3),用 a+bi 表示
4:求 f(z)=(z+e^(zi))/z^3 的留数,奇点类型,并求在半径为 r 的半圆 Cr 上 ∮
f(z)dz
5:也是关于留数的,最后有个求定积分(积分范围 0-无穷)∫(x-sinx)/x^3
6:求 0<Im(z)<1/2 在 f(z)=1/z 映射下的像
7 书上的原题:p247 第三小题
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