复变函数试卷-杨晓京(1)1
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2022-08-08
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1、(a)设
𝑓
(
𝑧
)
=
𝑢
(
𝑥,𝑦
)
+
i
𝑣
(
𝑥,𝑦
)
处处解析，写出
𝑓
(
𝑧
)
的 Cauchy-Riemann 条件，并用
𝑢, 𝑣
的
𝑛
阶
偏导给出
𝑓
(
𝑛
)
(𝑧)
的表达式；
(b)设
𝑓
(
𝑧
)
=
𝑢
(
𝑥,𝑦
)
+
i
𝑣
(
𝑥,𝑦
)
处处解析，证明
𝑢
(
𝑥,𝑦
)
满足 Laplace 方程。
2、(a)写出
cos
(
3𝑥
+
2𝑦
i
)
的实部、虚部；(b)求
(
4i
)
i
的一般值。
3、求以下复积分：
(a)
𝐼
=
|
𝑧
|
=
3
d
𝑧
1
+
𝑧
𝑛
(b)
𝐽
=
|
𝑧
|
=
1
cos
2𝑧
-
1
𝑧
𝑚
d
𝑧
4、求以下实积分：
(a)
𝐼
=
2𝜋
0
d
𝑥
1
―
2𝑝
cos
𝑥
+
𝑝
2
其中
―
1
<
𝑝
<
1
；
(b)
𝐽
=
+
∞
0
𝑥
sin
2𝑥
d
𝑥
𝑥
2
+
𝑎
2
5、(a)叙述 Abel 定理以及收敛半径的定义；
(b)证明：若
∑
+
∞
𝑘
=
0
𝑎
𝑘
𝑟
𝑘
收敛，
∑
+
∞
𝑘
=
0
|
𝑎
𝑘
|
𝑟
𝑘
发散，则原级数收敛半径为
𝑟
。
6、求将
|
𝑧
―
1
|
<
𝑟
映射成
|
𝑤
―
i
|
<
𝑅
的分式线性映射的一般形式，其中
𝑟
>
1, 𝑅
>
0
。
7、求将
𝑎
<
Re
(
𝑧
)
<
𝑏
映射成
|
𝑤
|
<
1
的映射，其中
𝑎
<
𝑏, 𝑎, 𝑏
∈
ℝ
8、若
𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑
∈
ℝ
，且
𝑎𝑑
―
𝑏𝑐
>
0
，证明分式线性映射
𝑤
=
𝑎𝑧
+
𝑏
𝑐𝑧
+
𝑑
将上半平面正向映射成上半
平面，即把实轴正向映射成实轴。
9、求将
𝑧
1
=
0,
𝑧
2
=
1,
𝑧
3
=
∞
映射成
𝑤
1
=
1,
𝑤
2
=
i
,
𝑤
3
=
―
1
的分式线性映射，要求最终表达
式的形式为
𝑤
=
𝑎𝑧
+
𝑏
𝑧
+
𝑑
。
10、求将
|
𝑧
|
<
1
映射成
|
𝑤
|
<
1
的分式线性映射的一般表达式，并证明
|
d
𝑤
|
1
―
|
𝑤
|
2
=
|
d
𝑧
|
1
―
|
𝑧
|
2
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