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1.3 点积
点积（dot product）是向量乘法的一种形式，它的计算结果是一个标量值；由于这一原
因，有时也将点积称为标量积（scalar product）。设 u=（u
x
,u
y
,u
z
），v=（v
x
,v
y
,v
z
），则点积定
义如下：
x x y y z z
u v u v u v× = + +u v
（1.3）
简言之，点积等于两个向量对应分量的乘积之和。
点积的定义不存在任何明显的几何含义。但是，使用余弦定理可以发现存在如下关系：
cos
q
× =u v u v
（1.4）
其中，θ 表示向量 u 和 v 之间的夹角，且 0≤θ≤π（参见图 1.9）。公式 1.4 说明这两个
向量的点积等于向量夹角的余弦值和向量模之间的乘积。在特殊情况下，如果 u 和 v 都是
单位向量，那么 u∙v 就等于它们之间夹角的余弦值（即，u∙v=cosθ）。
图 1.9 在左图中，u、v 之间的夹角 θ 为锐角。在右图中，u、v 之间的夹角 θ 为钝角。记
住，当我们提及两个向量之间的夹角时，通常指的是最小的角，也就是角度 θ，且 0≤θ≤
π。
公式 1.4 提供了一些有用的点积的几何性质：
1．如果 u∙v=0，则 u⊥v（即，向量相互垂直）。
2．如果 u∙v＞0，则两个向量之间的夹角 θ 小于 90º（即，向量形成一个锐角）。
3．如果 u∙v＜0，则两个向量之间的夹角 θ 大于 90º（即，向量形成一个钝角）。
注意：“相互垂直”也可称为“互成直角”。
【例 1.4】
设 u=（1, 2,3）、v=（−4, 0, −1）。求 u 和 v 之间的夹角。首先，我们要做如下计算：
2 2 3
2 2 2
(1, 2,3) ( 4,0, 1) 4 3 7
1 2 3 14
( 4) 0 ( 1) 17
× = × - - = - - = -
= + + =
= - + + - =
u v
u
v
现在，由公式 1.4 解得 θ 为：
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