第一次习题课补充材料答案_7777072081
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2022-08-03
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1、求下列极限
（1）
1sinlim
22
n
n
（2）
nn
n
22
sinlim
解：（1）
0
1
sinlim1sinlim1sinlim
2
22222
nn
nnn
nnn
。
（2）
nnnnn
nn
2222
sinlimsinlim
22
2
limsin limsin 1
1
11
nn
n
n n n
n
2、设
1
1
aa
，
a
为常数，
n
nn
a
a
aa
1
1
2
1
，
),2,1( n
，证明极限
n
n
a
lim
存在，并求此极限。
证明：思路是运用单调有界准则。
由平均值不等式得到：
)(
2
1
1
1
n
nn
a
a
aa
12
2
1
1
a
a
a
a
n
n
，
n
a
有下界，只须再证单调减。注意上述结果对一切
n
成立，于是
n
n
n
nn
a
a
a
aa
)(
2
1
2
1
),2,1( n
即
n
a
单调减有下界，必有极限。记
Aa
n
n
lim
。
由极限的唯一性，可得方程
A
a
AA
2
1
解此方程得到
aAa
n
n
lim
（舍弃了负根）。
3、假设序列
}{a
n
满足极限
n
k
k
a
1
n
lim
存在。证明
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