第一次习题课答案_极限的定义与性质__9375051181
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2022-08-03
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第一次习题课题目 极限的定义与性质
1. 设
lim 0,
n
n
a
n
求证：
12
max , , ,
lim 0.
n
n
a a a
n
证明：由
lim 0,
n
n
a
n
1
0, , . .N s t
1
,.
n
a
nN
n
对此
11
, , . .N N N st
及
1
12
max , , ,
,.
N
a a a
nN
n
于是，当
nN
时，有
1 1 1
1 2 1 2
12
max , , , max , , ,
max , , ,
+ 2 ,
N N N n
n
a a a a a a
a a a
n n n
由极限的定义知
12
max , , ,
lim 0.
n
n
a a a
n
2. 设
1
0,lim 1.
n
n
n
n
a
aq
a
求证：
（1）
lim 0.
n
n
a
（2）
2
lim 0.
n
n
n
a
a
证明：取定
0
(0,1 ).q
因
1
lim 1,
n
n
n
a
q
a
,s.t. N
0
1
,,
n
n
a
q n N
a
从而
0 1 0
0 ( ) ( ) , ;
nN
n n N
a q a q a n N
2 2 2 1 1
0
2 1 2 2
0 ( ) , .
n
n n n n
n n n n
a a a a
q n N
a a a a
而
0
0 1,q
在以上两式中令
,n
由夹挤原理得
lim 0,
n
n
a
2
lim 0.
n
n
n
a
a
艾苛尔
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