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背包问题九讲1
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01背包问题题目基本思路 .优化空间复杂度初始化的细节问题 .一个常数优化 .小结完全背包问题题目基本思路一个简单有效的优化转化为01背包问题求解O(V N)的
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背包问题九讲 2.0 alpha1
崔添翼 (Tianyi Cui, a.k.a. dd_engi)
September 15, 2011
本文题为《背包问题九讲》,从属于《动态规划的思考艺术》系列。
这系列文章的第一版于2007年下半年使用EmacsMuse制作,以HTML格式发
布到网上,转载众多,有一定影响力。
2011年9月,本系列文章由原作者用L
A
T
E
X重新制作并全面修订,您现在看
到的是2.0 alpha1版本,修订历史及最新版本请访问 https://github.com/tianyicui/
pack 查阅。
本文版权归原作者所有,采用 CC BY-NC-SA 协议发布。
Contents
1 01背包问题 2
1.1 题目 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 基本思路 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 优化空间复杂度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.4 初始化的细节问题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.5 一个常数优化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.6 小结 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2 完全背包问题 4
2.1 题目 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.2 基本思路 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.3 一个简单有效的优化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.4 转化为01背包问题求解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.5 O(V N)的算法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.6 小结 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3 多重背包问题 6
3.1 题目 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3.2 基本算法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3.3 转化为01背包问题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.4 O(VN)的算法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.5 小结 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
4 混合三种背包问题 8
4.1 问题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
4.2 01背包与完全背包的混合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
4.3 再加上多重背包 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
4.4 小结 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1
5 二维费用的背包问题 9
5.1 问题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
5.2 算法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
5.3 物品总个数的限制 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
5.4 复整数域上的背包问题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
5.5 小结 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
6 分组的背包问题 10
6.1 问题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
6.2 算法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
6.3 小结 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
7 有依赖的背包问题 10
7.1 简化的问题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
7.2 算法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
7.3 较一般的问题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
7.4 小结 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
8 泛化物品 11
8.1 定义 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
8.2 泛化物品的和 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
8.3 背包问题的泛化物品 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
8.4 小结 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
9 背包问题问法的变化 13
9.1 输出方案 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
9.2 输出字典序最小的最优方案 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
9.3 求方案总数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
9.4 最优方案的总数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
9.5 求次优解、第K优解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
9.6 小结 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1 01背包问题
1.1 题目
有N件物品和一个容量为V 的背包。放入第i件物品耗费的空间是C
i
,得到
的价值是W
i
。求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。
1.2 基本思路
这是最基础的背包问题,特点是:每种物品仅有一件,可以选择放或不
放。
用子问题定义状态:即F [i, v]表示前i件物品恰放入一个容量为v的背包可以
获得的最大价值。则其状态转移方程便是:
F [i, v] = max{F [i − 1, v], F [i − 1, v − C
i
] + W
i
}
这个方程非常重要,基本上所有跟背包相关的问题的方程都是由它衍生
出来的。所以有必要将它详细解释一下:“将前i件物品放入容量为v的背包
2
中”这个子问题,若只考虑第i件物品的策略(放或不放),那么就可以转化
为一个只和前i − 1件物品相关的问题。如果不放第i件物品,那么问题就转化
为“前i − 1件物品放入容量为v的背包中”,价值为F [i − 1, v];如果放第i件物
品,那么问题就转化为“前i − 1件物品放入剩下的容量为v − C
i
的背包中”,
此时能获得的最大价值就是F [i − 1, v − C
i
]再加上通过放入第i件物品获得的价
值W
i
。
伪代码如下:
F [0, 0..V ] = 0
for i = 1 to N
for v = C
i
to V
F [i, v] = max{F [i − 1, v], F [i − 1, v − C
i
] + W
i
}
1.3 优化空间复杂度
以上方法的时间和空间复杂度均为O(V N ),其中时间复杂度应该已经不能
再优化了,但空间复杂度却可以优化到O(V )。
先考虑上面讲的基本思路如何实现,肯定是有一个主循环i = 1..N,每次
算出来二维数组F [i, 0..V ]的所有值。那么,如果只用一个数组F [0..V ],能不
能保证第i次循环结束后F [v]中表示的就是我们定义的状态F [i, v]呢?F [i, v]是
由F [i − 1 , v]和F [i − 1, v − C
i
]两个子问题递推而来,能否保证在推F [i, v]时(也
即在第i次主循环中推F [v]时)能够取用F [i − 1, v] 和F [i − 1, v − C
i
]的值呢?事
实上,这要求在每次主循环中我们以v = V..0的递减顺序计算F [v],这样才能保
证推F [v]时F [v − C
i
]保存的是状态F [i − 1, v − C
i]
的值。伪代码如下:
F [0..V ] = 0
for i = 1 to N
for v = V to C
i
F [v] = max{F [v], F [v − C
i
] + W
i
}
其中的F [v ] = max{F [v], F [v − C
i
] + W
i
}一句,恰就对应于我们原来的转移方
程,因为现在的F [v − C
i
]就相当于原来的F [i − 1, v − C
i
]。如果将v的循环顺序
从上面的逆序改成顺序的话,那么则成了F [i, v]由F [i, v − C
i
]推导得到,与本题
意不符。
事实上,使用一维数组解01背包的程序在后面会被多次用到,所以这里抽象
出一个处理一件01背包中的物品过程,以后的代码中直接调用不加说明。
def ZeroOnePack(F , C, W )
for v = V to C
F [v] = max(F [v], f [v − C] + W )
有了这个过程以后,01背包问题的伪代码就可以这样写:
for i = 1 to N
ZeroOnePack(F, C
i
, W
i
)
1.4 初始化的细节问题
我们看到的求最优解的背包问题题目中,事实上有两种不太相同的问法。
有的题目要求“恰好装满背包”时的最优解,有的题目则并没有要求必须把背
包装满。一种区别这两种问法的实现方法是在初始化的时候有所不同。
3
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glowlaw
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