ACM背包问题九讲

ACM背包问题九讲 本资源为ACM背包问题九讲的详细解释，涵盖了背包问题的基本思路、子问题定义、状态转移方程、优化空间复杂度、伪代码实现、过程抽象等方面的知识点。 一、基本思路 背包问题是非常经典的动态规划问题之一。基本思路是定义状态f[i][v]，表示前i件物品恰放入一个容量为v的背包可以获得的最大价值。状态转移方程是f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]}，这个方程非常重要，基本上所有跟背包相关的问题的方程都是由它衍生出来的。 二、子问题定义 子问题定义是指将前i件物品放入容量为v的背包中这个子问题，若只考虑第i件物品的策略（放或不放），那么就可以转化为一个只牵扯前i-1件物品的问题。如果不放第i件物品，那么问题就转化为“前i-1件物品放入容量为v的背包中”，价值为f[i-1][v]；如果放第i件物品，那么问题就转化为“前i-1件物品放入剩下的容量为v-c[i]的背包中”，此时能获得的最大价值就是f[i-1][v-c[i]]再加上通过放入第i件物品获得的价值w[i]。 三、优化空间复杂度 优化空间复杂度是指优化时间和空间复杂度的问题。基本思路的时间和空间复杂度均为O(VN)，其中时间复杂度已经不能再优化了，但空间复杂度却可以优化到O。可以使用一个数组f[0..V]，能否保证第i次循环结束后f[v]中表示的就是我们定义的状态f[i][v]。伪代码如下： for i=1..N for v=V..0 f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]+w[i]}; 四、过程抽象 过程抽象是指抽象出一个处理一件01背包中的物品过程，以后可以直接调用不加说明。过程名为ZeroOnePack，表示处理一件01背包中的物品，两个参数cost、weight分别表明这件物品的费用和价值。 procedure ZeroOnePack(cost,weight) for v=V..cost f[v]=max{f[v],f[v-cost]+weight} 五、初始化的细节 初始化的细节问题是指求最优解的背包问题题目中，事实上有两种不太相同的问法。有的题目要求“恰好装满背包”时的最优解，有的题目则并没有要求必须把背包装满。一种区别这两种问法的实现方法是在初始化的时候有所不同。如果是第一种问法，要求恰好装满背包，那么在初始化时除了f[0]为0其它f[1..V]均设为-∞，这样就可以保证最终得到的f[N]是一种恰好装满背包的最优解。如果并没有要求必须把背包装满，那么可以初始化所有的f[0..V]为0。 六、其他类型的背包问题 其他类型的背包问题包括完全背包问题、多重背包问题、混合三种背包问题、二维费用的背包问题、分组的背包问题、有依赖的背包问题、泛化物品等。这些问题的解决思路和基本思路类似，但有所不同。 ACM背包问题九讲为我们提供了一种非常详细的解决方案，涵盖了背包问题的基本思路、子问题定义、状态转移方程、优化空间复杂度、伪代码实现、过程抽象等方面的知识点。