【概率论与数理统计试题解析】
一、(12 分) 问题涉及排列组合概率。当 n 个人排成一行,甲与乙之间恰有 r 个人的概率可以通过排列公式计算。若 n 个人围成一圈,由于圆周排列的等价性,甲与乙之间的 r 人位置是相对固定的,因此概率与 r 无关。具体解答如下:
- 当 n 人在一行时,甲乙之间的 r 人可以看作一个整体,甲乙和其余 n-2 人一起排列,总排列数为 n!。甲乙之间的 r 人内部有 r!种排列,甲乙有两种排列方式,所以概率为 (r!(n-2)!) / n!。
- 当 n 人围成一圈时,由于圆周排列,任何一个人的相对位置都可以看作起点,不影响概率,所以甲乙之间恰有 r 人的概率为 1/(n-1)!,与 r 无关。
二、(10 分) 这是一个条件概率问题。计算所有产品的次品概率,然后计算乙车间次品的概率。
- 总概率 = 0.03 * 0.25 + 0.02 * 0.35 + 0.01 * 0.40。
- 条件概率(次品来自乙车间)= (乙车间次品概率 / 总概率)。
三、(10 分) 问题涉及到概率和期望利润计算。机器一周内无故障、一次故障、两次故障和三次及以上故障的利润分别是 10 万、5 万、0 和 -2 万,对应的概率分别是 (1-0.2)^5、C(5,1) * 0.2 * (1-0.2)^4、C(5,2) * 0.2^2 * (1-0.2)^3 和 0.2^3及以上的概率。期望利润为这些情况下的利润乘以对应概率之和。
四、(15 分) 题目给出二维随机变量 (X, Y) 在特定区域的均匀分布,要求求解边缘密度、协方差和随机变量 X 的方差。
- 边缘密度为在另一变量固定时,单个变量的密度函数。对于 X,需要将 Y 固定在所有可能的值上,然后积分得到关于 X 的边缘密度。
- 协方差为 Cov(X, Y) = E[(X - E[X])(Y - E[Y])],其中 E[] 表示期望值。
- 方差 Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2。
五、(12 分) 命中点 (X, Y) 沿两个独立的正态分布 N(0, 2^2)。要求环形区域的概率和距离 Z 的期望。
- 环形区域的概率可以通过两个独立正态分布的联合概率计算,其中 |X| + |Y| < 2。
- 距离 Z 的期望是两个独立正态分布的平方和的期望,即 E[Z^2] = E[X^2] + E[Y^2]。
六、(10 分) 这是一个寿命测试的问题,目标是找到至少 95% 的置信下限。寿命 X 服从指数分布,期望 m 未知,需要通过 n 个样本的平均值来估计 m,并确保其下限大于等于 10.95。使用 t 分布理论来解决。
七、(10 分) 问题涉及到样本均值的置信区间和假设检验。
- 对于样本均值的置信区间,使用正态分布和 t 分布的临界值,给定置信水平 0.95,计算区间。
- 维尼纶纤度的假设检验是基于正态分布的,比较样本方差与总体方差,采用 t 检验判断是否显著偏离标准值。
八、(21 分) 给定的概率密度函数是指数分布,要求进行参数估计和假设检验。
- 参数估计可能使用矩估计法或极大似然估计法,计算样本均值和样本方差,然后建立估计量。
- 假设检验可能涉及卡方检验,比较样本数据与假设的分布形态是否一致。
以上是对题目内容的详细分析,涵盖了概率论与数理统计中的排列组合、条件概率、期望利润、边缘密度、协方差、方差、正态分布、指数分布、置信区间、假设检验等多个知识点。