2014-2015春夏1

这篇文档实际上是一份大学《微分方程》课程的期末考试试卷，主要涵盖了微分方程的求解、系统分析、稳定性理论以及延迟微分方程的问题。以下是对试卷内容的详细解读： 一、求解微分方程： 这部分试题考察了学生对一阶和二阶常微分方程的求解能力。例如： 1. dy/dx = 2xy + y^2 是一个一阶非线性常微分方程，可以通过分离变量或者积分因子的方法求解。 2. 2y^2 + 5(dy/dx)^2 = 4 是一个一阶齐次方程，可以通过转换成标准形式来求解，可能需要利用Euler公式或直接代入恰当的变量变换。 3. x^2(d^2y/dx^2) - 3xdy/dx + 5y = x^2sin(ln x) 是一个二阶线性微分方程，可以先通过分离变量或部分分式分解找到辅助方程，然后求解。 二、求解微分方程（组）： 这部分涉及了幂级数法求解微分方程，以及常微分方程组的求解。例如： 1. 用幂级数法求解y'' + 4xy = 0，需要将y表示为泰勒级数，并代入原方程求解。 2. 给定的两个微分方程构成的系统可以通过变量分离或拉普拉斯变换来求解。 3. 系统由三个微分方程组成，可能需要通过解联立方程组或特征根分析来找到解。 三、系统分析与平衡点： 这部分要求找出微分方程系统的平衡点，进行线性化，判断平衡点的类型，并绘制相图。例如： 给定的系统 x' = 1 - x + y - x^2, y' = x(x - y)，可以通过令导数等于零来找到平衡点，然后计算Jacobian矩阵进行线性化，根据特征根的性质判断平衡点的稳定性，并手工或借助软件绘制相图。 四、李雅普诺夫稳定性理论： 这部分涉及了李雅普诺夫稳定性理论，要求讨论两个方程组的零解的稳定性。例如： 1. 方程组 x' = 4y^3 - x^3, y' = -4x - y^3 的稳定性和不稳定性可以通过构建李雅普诺夫函数并分析其导数来确定。 2. 方程组 x' = -x^4y, y' = x^3y^2 同样需要建立合适的李雅普诺夫函数来分析稳定性。 五、延迟微分方程： 这部分包含了一个关于延迟微分方程的问题，涉及了解的存在性和唯一性。例如： 1. 需要证明存在α > 0，使得问题在t ∈ [0, α]内至少有一个解，这涉及到延迟微分方程的初值问题。 2. 对于解的唯一性，可能需要应用固定点定理或者比较原理来证明。 这份试卷全面测试了学生对微分方程及其应用的理解，包括基本解法、稳定性分析、系统动力学和延迟效应等核心概念。解答这些问题需要扎实的微分方程理论基础，以及一定的计算技巧和抽象思维能力。