定积分是微积分学中的一个核心概念，它在解决各种实际问题中有着广泛的应用，如求面积、体积、物理量等。本节主要探讨的是如何通过换元积分法和分部积分法来求解定积分。
换元积分法是解决复杂积分问题的一种策略，其基本思想是将原来的积分表达式转化为更易于处理的形式。在给出的椭圆面积求解例子中，我们通过换元法将积分变量从x变为t，使得原本复杂的积分变得简单。例如，椭圆的面积可以通过下面的积分表达式计算：
\[ S = \int_{-a}^{a} \sqrt{a^2 - x^2} dx \]
通过令 \( x = a\sin(t) \)，可以将积分转换为关于t的积分，并利用三角函数的性质简化计算。
换元积分法的关键在于选择合适的换元函数 \( x = \phi(t) \)，这个函数应使得被积函数 \( f(x) \) 能够简化。换元后，积分限可能需要调整，这是因为积分的上下限是相对于原变量x的，而新的变量t有其自己的范围。换元公式如下：
\[ \int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{\alpha}^{\beta} f(\phi(t)) \cdot \phi'(t) dt \]
其中，\( \phi \) 满足一定的条件，例如它的导数在相应区间内连续。
分部积分法则是另一种处理积分的技巧，尤其适用于乘积形式的被积函数。该方法基于乘积法则的逆过程，即对一个函数的导数与另一个函数的乘积进行积分。分部积分公式如下：
\[ \int u dv = uv - \int v du \]
在给定的例子中，计算 \( \int x \sin(x) dx \) 时，我们可以选取 \( u = x \) 和 \( dv = \sin(x) dx \)，然后应用分部积分法求解。
值得注意的是，分部积分法并不改变积分的上下限，但换元积分法可能会。在使用这两种方法时，必须确保正确地处理积分限，因为这直接影响到最终结果的准确性。
总结来说，定积分的换元积分法和分部积分法是微积分中解决复杂积分问题的有力工具。换元积分法通过变换变量简化被积函数，而分部积分法则针对乘积形式的被积函数进行积分。理解和掌握这两种方法对于深入学习微积分及其应用至关重要。在实际应用中，我们需要灵活运用这些方法，结合具体问题选择合适的方法，以求得准确的结果。
