第三节定积分的换元积分法与分部积分法.ppt

【正文】 本节主要探讨了两个重要的积分方法：定积分的换元积分法与分部积分法，并介绍了几个常用的积分公式。这些方法是解决复杂积分问题的关键工具。 我们回顾一下定积分的基础知识。定积分可以理解为曲线下面积的极限表示，微积分基本公式表明，定积分可以通过导数来求解，即如果一个函数的原函数是\( F(x) \)，那么定积分\( \int_a^b f(x) dx \)等于\( F(b) - F(a) \)。这为我们提供了一种求解定积分的基本策略。 接下来，我们进入了定积分的换元积分法。换元积分法分为两类。第一类换元积分法，也称为凑微分法，适用于被积函数可以通过一个适当的替换\( x = \phi(t) \)转化为更简单的形式，但积分的上下限不随变量变换。在这种情况下，原函数\( F(x) \)变为\( F(\phi(t)) \)，积分变为\( \int_{\phi(a)}^{\phi(b)} f(\phi(t)) \phi'(t) dt \)。例如，求\( \int_{-1}^{1} \sqrt{1-x^2} dx \)可以通过换元\( x = \sin t \)简化为\( \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 t dt \)，使得积分变得容易。 第二类换元积分法，又称积分变换法，涉及到积分变量的替换导致积分上下限的变化。在这种方法中，如果\( x = \phi(t) \)且\( \phi'(t) \)存在，积分变为\( \int_{a}^{b} f(\phi(t)) \phi'(t) dt \)。积分的上下限\( a \)和\( b \)会相应地变为\( \phi^{-1}(a) \)和\( \phi^{-1}(b) \)。例如，求\( \int_{1}^{e^2} \frac{1}{x \ln x} dx \)可以将\( x = e^t \)代入，得到\( \int_{0}^{2} e^{-t} dt \)，这样就简化了计算。 然后是分部积分法，它适用于被积函数是乘积形式的，即\( u \cdot v' \)。分部积分公式是\( \int u dv = uv - \int v du \)。这个公式允许我们将复杂的乘积积分转化为更简单的积分。例如，求\( \int x \sin(x^2) dx \)，我们可以设\( u = x \)，\( dv = \sin(x^2) dx \)，然后分别求\( du \)和\( v \)，最终通过分部积分法求解。 我们学习了几个定积分的常用公式，包括积分的线性性质、积分的奇偶性和周期性等。这些公式可以帮助我们快速处理一些特殊形式的积分。 在实际应用中，熟练掌握换元积分法和分部积分法对于解决复杂的定积分问题是至关重要的。通过不断的练习和理解，我们可以更好地运用这些方法解决实际问题，从而深化对微积分的理解。