第四节的焦点在于定积分的两种重要计算方法：换元法和分部积分法。这两种方法都是基于微积分的基本公式，使得求解定积分的问题变得更为便捷。
**定积分的换元积分法**：
定积分的换元积分法是通过引入一个新的变量来简化被积函数的形式，以便更方便地计算积分。这种方法的关键在于正确地选择变换变量，并注意积分限的变化。当将变量x替换为t时，积分限也需要相应地转换，确保新旧变量之间的对应关系。例如，在例1中，通过将x替换为t，积分可以更容易地解决，而无需像不定积分那样再转换回原来的变量x。只需将新变量的上限和下限代入求得的结果中相减即可。
**定积分的分部积分法**：
分部积分法是处理含有乘积形式的被积函数的一种策略。它适用于一个函数的导数乘以另一个函数的情况，其公式为 或 。例如，在例9和例10中，通过连续两次使用分部积分法，可以逐步将复杂的乘积形式转化为简单的形式进行积分。
**应用实例**：
- 例2展示了如何利用换元积分法解决涉及三角函数的积分问题，通过将x替换为t，简化了原问题。
- 例6和例7进一步展示了换元法在处理奇偶函数积分时的效率，特别是当积分区间对称于原点时，利用函数的奇偶性可以简化计算。
- 例12和例13则展示了分部积分法在处理复杂乘积函数时的作用，通过反复应用分部积分，最终将原始表达式转化为可直接积分的形式。
**重要点总结**：
1. **换元法**：在使用换元法时，需注意新变量的选取以及积分限的对应转换，计算后直接代入新变量的上下限求解。
2. **分部积分法**：适用于乘积形式的被积函数，通过不断积分和求导来逐步简化问题。
3. **奇偶函数的应用**：在定积分中，利用函数的奇偶性可以简化计算，尤其在对称区间上。
4. **分部积分的多次应用**：有时需要连续多次使用分部积分法才能得到最终答案。
**课堂训练**：
1. 给定的定积分问题，同样可以通过换元或分部积分法来解决。首先分析被积函数，然后选择合适的方法进行计算。
2. 对于含有已知函数乘积的积分，可能需要结合分部积分法进行处理，确保逐步简化问题直至可以直接积分。
这些例子和训练题目提供了深入理解和应用换元法和分部积分法的机会，对于提升解题技巧和熟练度至关重要。通过反复练习和应用，可以更好地掌握这两种方法，解决更复杂的定积分问题。
