实验1-2主要探讨了误差和插值法在数值计算中的应用。实验要求使用基本高级语言,如C/C++,不建议使用Python、Matlab等工具,目的是让学生深入理解算法的实现过程,而不仅仅是得到结果。 实验的第一部分涉及到交错级数和截断误差的概念。已知自然对数ln 2可以用交错级数表示,即ln 2 = 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ...。这个级数的和可以用来构造逼近ln 2 的数列xn,其中xn = Σ(-1)^(k-1) * k/n,k=1到n。根据交错级数的性质,可以估计误差|xn - ln2| < 1/(n+1)。如果我们将误差限制设为ε=1/2 * 10^-4,任务是找出最小的n值,使得单精度浮点数计算的xn满足这个精度要求。这里需要对比理论计算的n值和实际计算的n值,分析两者之间是否存在差异,探究可能的原因。 实验的第二部分关注Runge现象,这是一种在插值过程中常见的问题,当插值节点过于集中时,插值函数可能会剧烈振荡。我们使用Lagrange插值和三次样条插值来处理Runge给出的函数f(x) = 1/(1 + 16x^2)。Runge函数在两端的值变化较小,但在中间部分变化剧烈,容易引发插值误差。 1. 我们选取n=10和n=20的节点,分别构建Lagrange代数插值函数L10(x)和L20(x)。Lagrange插值是一种基于给定点的多项式插值方法,其误差随着节点数量的增加而减小,但可能受到Runge现象的影响。 2. 接着,同样选取n=10和n=20,使用第一类(一阶)边界条件的三次样条插值函数S10(x)和S20(x)。三次样条插值通过限制连续性和一阶导数的连续性,能有效缓解Runge现象,提高插值的稳定性。 3. 在[-5,5]区间内,画出原始函数f(x)以及L10(x)、L20(x)、S10(x)和S20(x)的图形,比较它们的形状和性质。这有助于直观地看出不同插值方法对Runge现象的改善程度。 4. 考察四种插值函数在x=4.8处的误差,进行分析。这个点位于Runge现象的剧烈区域,因此误差分析至关重要。通过比较不同插值方法的误差,可以评估哪种方法在处理复杂函数时更为有效,并思考如何进一步改进插值策略以减少误差。 实验报告应按照规定的格式撰写,包括实验要求、算法描述、程序清单、运行结果的比较和分析,以及个人的体会和展望。通过这个实验,学生不仅可以掌握误差分析和插值法的基本原理,还能锻炼编程能力和问题解决能力,为后续的数值计算课程打下坚实的基础。
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