(2016.1) 线代与解几试卷A 答案1

【线性代数与解析几何】试卷答案解析 1. 行列式的代数余子式之和 题目中提到的行列式问题涉及到行列式的代数余子式。代数余子式是行列式中某一行（列）元素的系数乘以其对应的余子行列式的值。对于一个3阶行列式，第三行元素的代数余子式之和313233AAA 0，意味着计算第3行各元素的代数余子式后相加等于0。这要求我们理解行列式的性质和代数余子式的计算方法。 2. 矩阵的秩和特征值 描述中提到A和B是3阶矩阵，111111A，秩() ( )r ABr B，且λ应满足1λ或2λ−。这涉及到矩阵的秩和特征值的关系。矩阵的秩定义为非零子式的最大阶数，如果秩小于3（即3阶矩阵的满秩），则矩阵不是满秩的，可能有多个零特征值。由于秩关系小于B，λ必须是使得A-λB不可逆的值，这意味着λ是A-λB的特征值，且1λ或2λ−是特征值的可能取值。 3. 基与坐标 问题提到了向量在基下的坐标表示，表明我们需要了解基的概念和向量的坐标表示。给定基12, ，向量20    在该基下的坐标为(1,1)T，这意味着向量可以表示为基向量的线性组合。 4. 柱面方程 柱面方程与解析几何密切相关，描述了一个柱面沿着特定轴的形状。题目给出的柱面方程2221xy表明母线平行于z轴，通过曲线222222210xyzxyz。解这类方程需要熟悉柱面坐标系统和参数方程。 5. 实对称矩阵的特征值和正定性 实对称矩阵的特征值都是实数，题目中提到二阶实对称矩阵A的特征值为0和1。如果2()BkIA是正定阵，那么k必须满足特定条件，即k≠0,1，因为正定矩阵的特征值必须全为正。 选择题解析： 1. 矩阵变换涉及矩阵乘法和行变换。题目中的变换描述了如何从矩阵A得到单位阵I，要求解出A。这需要对矩阵运算和行变换的理解。 2. 矩阵的秩和齐次线性方程组的解空间。当矩阵的秩小于方程组的变量数时，存在非零解，而齐次线性方程组的解空间是一维的。这意味着基础解系只包含一个向量。 3. 直线夹角的计算。这涉及到二维空间中两条直线的夹角计算，通常通过它们的方向向量来解决。 4. 向量线性相关性和无关性的概念。题目指出向量组的线性相关性，并要求推断出其他向量是否可由该组线性表示。 5. 实对称矩阵的相似性。实对称矩阵的相似性与它们的特征值有关，它们必须具有相同的特征值才能相似。 综合上述内容，我们可以看到这道试题涵盖了线性代数中的关键概念，如行列式、矩阵的秩、特征值、基与坐标、柱面方程以及实对称矩阵的性质。这些知识点是学习线性代数和解析几何的基础，对于理解和解决相关问题至关重要。