4.4.1 第二章习题题解1
需积分: 0 60 浏览量
2022-08-03
17:36:25
上传
评论
收藏 288KB PDF 举报
第二章习题题解
2.7.2 计算题
2.1 MATLAB 提供了上三角、下三角、对角矩阵的生成函数 triu,tril 和 diag，读者可试用它们及 randintr
函数来生成随机的特殊矩阵。
(a) 生成两个 4 × 4 的上三角随机方阵 T1 和 T2，求 T1*T2 及 T2*T1，说明为何上三角矩阵的乘积仍
为上三角矩阵；为什么矩阵乘法不满足交换律；其对角线元素的乘积为何等于乘积的对角线元素。并说明
这些规则是否适用于下三角矩阵，是否适用于任意方阵。
解：T1=tril(randintr(4)), T2=tril(randintr(4)), T12=T!*T2, T21=T2*T1
(b) 求上述两个上三角方阵 T1 和 T2 的转置 T3=T1′和 T4=T2′；说明其为何成为下三角矩阵；验证
(T1*T2)’=T1’*T2’是否成立？应该是什么关系式；求 T1 和 T2 的逆阵 V1 和 V2，验证其乘积的逆阵与逆阵
的乘积应满足何种关系。
T1=tril(randintr(5)), T2=tril(randintr(5)), T3=T1', T4=T2', E=T4*T3-(T1*T2)'
结果为 E=0
2.2 构建一个 4×4 的随机正整数矩阵 A，取三次不同的 A，检验下式是否满足：
(A+I)(A−I)=A
2
再生成三个 4 × 4 的随机正整数矩阵 B。然后检验下式是否满足：
−I
(A+B)(A−B)=A
2
检验的方法可以靠读数比较。而更好的方法是列出“左端-右端”的语句，看结果是否为零。
–B
2
证:程序为： A1=randintr(4), A2= randintr(4), A3 =randintr(4), B =randintr(4),
A=A1, E1=(A+eye(4))*(A-eye(4))-A^2+(eye(4))^2, E2=(A+B)*(A-B)-(A^2-B^2)
得到： E1=zeros(4), E2≠zeros(4), 故后一式不成立。
2.3 试证明：
11
11 11 11
21 22
21 22 22 22
12
12
00
00 0 0
0
0* 0
**
m m mm
m m mm mm mm
a
b ab
aa
b b ab
aa a
b b b ab
=
，即两下三角矩阵的乘
积仍为下三角矩阵，乘积的对角元素为两矩阵对应元素的乘积。消元初等矩阵 E 也有类似特性，设 E 为消
元初等矩阵，说明
( )
321
inv=L EEE
为什么为下三角矩阵。
证：在乘积 C=A*B 中的任意元素 cij 的表达式为：cij=ai1*b1j+ai2b2j+...+ainbnj，在 i>j 的下三角区域内，
aik 和 bkj 中必有一个数的第一下标大于第二下标，因而为零，所以乘积矩阵的诸下三角项均为零。
而其主对角线上的元素为：cii=ai1*b1i+ai2b2i+...+ainbni=d1+d2+...+dn。当 A,B 为下三角矩阵时，当 i<j
时,aij=bij=0。故在 cii 的表达式中，前 i-1 项的 a
i,i-1
=0，导致 这些项的 d
1
,...,d
i-1
=0，而从 i+1 到 n 各项的 di+1,...dn，
又因 bi,i+1,...,bi,i+n=0 而等于零，余下的只有 cii=aiibii 一项不为零，而 i 可取值 1,2,...,n。
乘积矩阵的上三角项则可能出现任何值。
由此命题得证。对两个上三角矩阵的乘积也可做类似的推理，证明其乘积必为上三角矩阵。
2.4 用题 2.3 的结论说明消元回代时矩阵主对角线上的元素为何不变，即 U1=ref1(A)和 U2=ref2(A)的
对角元素相同。用 MATLAB 生成 5 阶随机方阵来验证这一点。
解：因为用消元法进行回代以消除上三角区域中的非零项时，其消法矩阵 E 中的非零项将在上三角区
域内，故 E 也是一个上三角矩阵，且其主对角线上各元素均为一。它与原来的上三角矩阵的乘积仍为上三
角矩阵，且主对角线上所有的元素不变。
韩金虎
- 粉丝: 27
- 资源: 285
最新资源
- 基于C语言的校园导航系统报告.doc
- __init__.py
- tensorflow-gpu-2.6.5-cp39-cp39-manylinux2010-x86-64.whl
- tensorflow-rocm-2.13.1.600-cp38-cp38-manylinux2014-x86-64.whl
- tensorflow-rocm-2.13.0.570-cp311-cp311-manylinux2014-x86-64.whl
- 3ds_1.0_3.6.ipa
- 卷积神经网络（Convolutional Neural Network，CNN
- 网页设计HTML、CSS和JS网页设计HTML、CSS和JS
- 利用Python构建作物病虫害识别分类系统
- 经济学人 2024.3.30
资源上传下载、课程学习等过程中有任何疑问或建议，欢迎提出宝贵意见哦~我们会及时处理！
点击此处反馈
评论0