资产定价的数学模型是金融学中的核心概念,它涉及到如何确定资产的理论价格,以便投资者做出明智的投资决策。资产定价理论主要分为两类:基于风险中性的衍生品定价和基于一般均衡理论的现代投资组合理论。 风险中性定价是通过假设投资者对所有资产的风险都无差异,以此来消除市场风险,使所有资产的收益与无风险利率相等。这种定价方法常用于衍生品如期权的定价。例如,对于一个没有分红且无风险利率为r的资产,投资者在时间t购买1元资产,到时间t+dt的收益应等于无风险利率r所带来的收益。通过微分方程dt = r*dt,我们可以得出资产在dt时间内的理论价格变化,即资产价格随时间的连续增长遵循无风险利率。 现代投资组合理论,尤其是马科维茨的均值方差模型,更关注收益和风险的权衡。马科维茨模型假设投资者的目标是最大化期望收益,同时最小化投资组合的方差。对数收益被广泛采用,因为它们具有可加性,便于计算和建模。模型中,投资组合的预期收益和方差取决于各资产的期望对数收益、协方差矩阵以及投资权重。 在实际应用中,我们通常假设对数收益率服从独立同分布,简化模型参数,例如使用样本均值和协方差矩阵作为统计估计。然后,通过优化问题找到预期收益和风险的最佳平衡,即均值方差投资组合。投资者的偏好通过风险厌恶系数α来体现,投资组合的选择需满足总资金约束和投资组合的预期收益与风险的平衡。 资本资产定价模型(CAPM)进一步扩展了这一理论,它描述了单个资产的预期收益与其对市场整体波动的敏感度(β系数)之间的关系。CAPM表明,资产的预期收益等于无风险利率加上资产的β系数乘以市场预期超额收益。当引入无风险资产后,形成了资本市场线(CML),它表示了所有有效投资组合的预期收益与风险的关系。CML的斜率代表了风险溢价,也就是投资者承担每单位风险所期望的额外回报。 从CAPM出发,可以推导出Black-Scholes partial differential equation(PDE),这是一个描述期权价格随时间变化的方程,它在金融工程中至关重要,用于计算期权的理论价格。Black-Scholes模型假设股票价格遵循几何布朗运动,通过求解PDE可以得到欧式期权的定价公式。 资产定价的数学模型是理解金融市场动态、制定投资策略的关键工具。它们涉及概率统计、优化理论、随机过程和微分方程等多个数学领域,为金融市场的分析和预测提供了强大的理论支持。
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