抽象代数 2016—2017 第1学期1

【抽象代数】是数学的一个重要分支，主要研究代数结构及其性质。在这个2016-2017学年第一学期的课程中，涉及了一些核心概念和定理。 1. **非平凡子群与商群的关系**： 题目中提到的第一点要求证明，如果H是有限群G的一个非平凡子群（即H不等于G且不等于{e}，e是单位元），则G不能被表示为H的并集，即G ≠ ∪g∈GgHg^(-1)。这实际上涉及到群的商群理论，因为如果可以这样表示，意味着每个G的元素都可以通过一个H的元素和它的逆来表示，这与商群的定义矛盾，即G/H中不存在元素的等价类覆盖整个G。 2. **同态与正规子群**： 问题的第二点指出，群G到另一个群G'的同态的核（即同态下保持不变的子群）是G的正规子群。这是一个基本定理。反之，如果K是G的正规子群，是否总能找到一个以K为核的同态？答案是肯定的，这可以通过构造商群G/K并定义一个从G到G/K的自然同态来实现，其核就是K本身。 3. **群作用与轨道与稳定子群**： 当有限群G在有限集合Ω上有一个群作用时，可以定义由Ω中的元素x产生的轨道G(x)和x的稳定子群G_x。轨道G(x)是所有与x通过群作用可到达的元素的集合，而G_x是所有保持x不变的元素组成的子群。它们之间的数量关系是轨道G(x)的元素个数等于G/G_x的元素个数，这是轨道-稳定子群定理的内容。 4. **Sylow子群**： 对于阶为n=plm的群G，其中p是素数且(p,m)=1，l>0，如果1≤k≤l，那么G的任何pk阶子群都是某个Sylow p-子群的子群。这是Sylow定理的应用，表明Sylow子群的存在性和唯一性。 5. **非单群的阶**： 如果群的阶是p^2q，其中p和q是不同的素数，根据Cauchy定理，群中一定存在阶为p和q的元素，由于p和q互质，根据Lagrange定理，群不可能是单群，因为单群中除了单位元外没有其他阶小于群阶的元素。 6. **Cayley定理和Kronecker定理的应用**： Cayley定理指出，任何群都可以作为对称群的子群，而Kronecker定理涉及线性代数中的特征值和特征向量。基于这两个定理，可以进一步探讨群表示理论、群的自同构等问题。 7. **交错群An**： 当n≥5时，交错群An（n阶的排列群，所有阶为偶数的排列构成的子群）是单群。这是因为An在n>4时没有阶为3的元素，从而排除了非平凡的中心，满足单群的定义。 8. **有限阶元素的乘积**： 一个群的两个有限阶元素的乘积的阶并不总是有限的。例如，在复数群C*中，e^(2πi/p)和e^(2πi/q)的阶分别是p和q，但它们的乘积e^(2πi/(pq))的阶是pq，当p和q互质时。 9. **保距线性变换群**： 问题9要求分析所有保距离的线性变换群，即在n维立方体C={(x1, x2, ..., xn) : |xi| ≤ 1}上的线性变换构成的群。这个群的阶与线性变换的性质，如矩阵的行列式、特征值等有关。 10. **最小素因数与正规子群**： 最后一点指出，如果有限群G的子群H的陪集数|G:H|=p，其中p是G阶的最小素因数，那么H是G的正规子群。这是Sylow定理的一个推论，因为陪集数必须是p的幂次，而最小素因数p只能对应于1次幂。 以上就是抽象代数课程中涉及的一些关键概念和证明问题，涵盖了群的结构、同态、子群的性质、群作用、Sylow定理以及单群的概念等重要内容。这些知识对于理解群论的基本理论和应用至关重要。