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第18讲 Schwarz引理(2020-4-23)1
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第二章复积分1. 假设 f 在单位圆盘 D 上全纯有界, γ = {eit;为 ∂D 的上半圆周, 满足当 z γ 时, f(z) 0, 证明 f ≡ 0.为右
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134 第二章 复积分
第 18 讲:Schwarz 引理 2019.4.23
1. 假设 f 在单位圆盘 D 上全纯有界, γ = {e
it
; 0 ≤ t ≤ π}
为 ∂D 的上半圆周, 满足当 z → γ 时, f(z) → 0, 证明 f ≡ 0.
2. f : D → H
R
全纯且 f(0) = 1, 其中 H
R
= {z; Re z > 0}
为右半平面. 利用 Schwarz 引理证明
1 − |z|
1 + |z|
≤ Ref (z) ≤ |f(z)| ≤
1 + |z|
1 − |z|
, ∀z ∈ D.
上式对某个 z
0
6= 0 成立的充要条件是什么?
3. 记 H = {z = x + iy; y > 0} 为上半平面, f : H → H 全
纯,对任意 z, w ∈ H, 证明
f(z) − f(w)
f(z) − f(w)
≤
z − w
z − w
.
由此说明
|f
′
(w)| ≤
Im(f(w))
Im(w)
.
4. 设 f 在单位圆盘 D 上全纯, f (0) = −1, 并且满足
|1 + f(z)| < 1 + |f(z)|, ∀z ∈ D. 求 |f
′
(0)| 的最大值.
5. 设 f : D → D 全纯, 证明
|f(0)| − |z|
1 − |f(0)||z|
≤ |f (z)| ≤
|f(0)| + |z|
1 + |f(0)||z|
, ∀z ∈ D.
6. 假设 f 是一个 k 次多项式, 在单位圆周上满足 |f (z)| =
1, ∀z ∈ ∂D. 证明对任意 z 满足 |z| > 1, 成立 |f (z)| ≤ |z|
k
.
7. 设 f 在单位圆盘 D 上全纯, |Ref (z)| < 1, f(0) = 0. 证
明
|f
′
(0)| ≤
4
π
.
等号成立的充要条件是啥?
8. (
附加题
)
写出你在学习复变函数的过程中
,
认为最漂亮
的三个定理, 以及这些定理打动你的理由. 另外你对课程有哪
高中化学孙环宇
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