【免费】第28讲边界延拓定理(2020-5-28)1资源-CSDN文库

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2.20 边界延拓 229

第 28 讲边界延拓定理

1. 利用 Schwarz 反射原理和边界延拓定理证明：单位圆

盘到自身的双全纯映射必为

f(z) = e

iθ

z −a

1 − ¯az

, a ∈ D, θ ∈ R.

注：之前利用 Schwarz 引理证明过此事，此处方法不同.

2. 假设 D, Ω 6= C 都是平面上的单连通区域, 边界都为简

单闭曲线. 任取 ∂D 上正向排列的三点 z

1

, z

2

, z

3

, ∂Ω 上正向排

列的三点 w

1

, w

2

, w

3

. 证明存在唯一双全纯映射 ϕ : D → Ω, 满

足边界点对应:

ϕ(z

k

) = w

k

, k = 1, 2, 3.

3. 记圆环 A(R) = {1 < |z| < R}. 假设 f : A(R

1

) →

A(R

2

) 双全纯，证明 f 可以延拓为同胚 f : A(R

1

) → A(R

2

).

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