第20讲 半纯函数与留数定理(2020-4-28)1
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2022-08-03
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2.13 留数定理 (RESIDUE THEOREM) 163
第 20 讲 半纯函数与留数定理
1. 假设 f(z) = p(z)/q(z) 为有理函数,p, q 没有公因子.
(1). 如果 z
0
是 q 的 1 阶零点, 证明
Res(f, z
0
) =
p(z
0
)
q
′
(z
0
)
.
(2). 如果 z
0
是 q 的 2 阶零点, 证明
Res(f, z
0
) =
6p
′
(z
0
)q
′′
(z
0
) − 2p(z
0
)q
′′′
(z
0
)
3q
′′
(z
0
)
2
.
(3). 如果 p 的次数低于 q 的次数，并且 q 的所有零点都
是一阶的, 证明
f(z) =
X
w:q(w)=0
p(w)
(z −w)q
′
(w)
.
(4). 假设 z
0
∈ C 不是 f 的极点, 则 f 可在 z
0
附近展成
Taylor 级数. 此级数的收敛半径是多少？
2. 证明 Riemann 球面到自身的双全纯映射为分式线性变
换。
3. 函数 f(z) =
sin z
z
2
−1
. 求 Res(f, 0), Res(f, 1), Res(f, ∞).
4. 有理函数 f(z) = p(z)/q(z) 在平面上的所有极点记为
p
1
, ··· , p
n
, 证明
Res(f, ∞) +
n
X
k=1
Res(f, p
k
) = 0.
由此，对于第 1(3) 小题, 求出 Res(f, ∞).
5. 假设 f 是有理函数, 映射度 d = deg(f) ≥ 1.
(1). 证明对任意 ζ ∈
b
C, 方程
f(z) = ζ
的解的个数 (计重数意义) 为 d.
(2). 问 f 的不动点 (即 f(z) = z 的解 z ∈
b
C) 的个数 (计
重数意义) 为多少? 证明你的结论.
(下一页有附加题, 对作业题意犹未尽的同学, 请尽情发挥
你的才华!)
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