线性二次调节器（LQR）法是一种在控制系统设计中广泛应用的最优控制策略，尤其在智能汽车路径规划与轨迹跟踪领域。本讲主要探讨如何利用LQR法解决轨迹跟踪问题，以及如何通过Matlab实现这一算法。
线性二次调节器的核心在于找到一个最优的控制输入，使得系统的状态（例如，车辆的位置和速度）能够按照期望的方式发展，同时最小化某一性能指标。在本例中，这个性能指标是跟踪偏差的平方和与控制输入的平方和的累计，这由目标函数J表示：
\[ J = \sum_{k=0}^{N} x_k^T Q x_k + u_k^T R u_k \]
其中，\( x_k \) 是状态向量，\( u_k \) 是控制输入，\( Q \) 是状态加权矩阵，\( R \) 是控制输入加权矩阵。\( Q \) 对应于状态误差的重要性，其元素越大，表明我们更关心状态的精确度。而\( R \) 表示对控制输入的惩罚，较大的\( R \) 值会促使控制输入尽可能小以减少能源消耗。
状态空间方程通常是离散的，表示为：
\[ x_{k+1} = A x_k + B u_k \]
这里的\( A \) 和 \( B \) 分别是系统状态转移矩阵和输入影响矩阵，\( x_k \) 和 \( u_k \) 是当前时刻的状态和控制输入。
为了求解LQR问题，我们需要找到一个控制输入 \( u \) 使目标函数 \( J \) 最小。这可以通过解以下的线性微分方程（黎卡提方程）得到：
\[ PA + A^T P + Q - PBR^{-1}B^T P = 0 \]
这里的 \( P \) 是黎卡提方程的解，它是一个对称且半正定的矩阵，反映了状态的权重。一旦找到 \( P \)，最优控制输入 \( u \) 可以用以下公式得出：
\[ u = -R^{-1} B^T P x \]
在实际应用中，通常采用迭代方法求解黎卡提方程，初始时设 \( P \) 为 \( Q \)，然后不断迭代直到 \( P \) 的改变量足够小，满足收敛条件。
在Matlab中，可以利用内置的`lqr()`函数来计算控制器参数 \( K \)，它是 \( R^{-1} B^T P \) 的结果。之后，通过将状态反馈给控制器，我们可以得到实时的控制输入 \( u \) 来指导车辆进行轨迹跟踪。
总结来说，线性二次调节器（LQR）法是通过最小化一个综合了状态偏差和控制输入的二次性能指标的最优控制策略。在智能汽车路径规划和轨迹跟踪中，LQR法可以有效地实现稳定且节能的轨迹跟踪，同时考虑到偏差的快速收敛和控制输入的最小化。在Matlab环境中，LQR的计算和实现相对简单，是解决这类问题的常用工具。
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