2014中国科学院大学数学分析1期末考试A1

【知识点详解】 1. 数学分析基础概念： - 极限：题目中多次出现极限问题，例如计算lim 1/ln(x)、lim cos(x)/x^2、lim (4cos(x)-2x)/e^(-x)等，这些都是考察极限的基本性质和洛必达法则的应用。 - 微积分中的无穷小与无穷大：要求找到函数f(x) = ax^2 + bx - 1在x趋于0时最高阶的无穷小表达式，涉及到泰勒展开和无穷小量的阶的概念。 2. 级数的敛散性： - 题目要求判断级数如Σ(n^a/n)和Σ(n^(1/a)/ln(n))的收敛性，这需要运用比较判别法、比值判别法、积分判别法等级数收敛性测试。 3. 函数的图形描绘与性质： - 描绘函数f(x) = 4x^5 - 8x^2 - 5并讨论其特征，包括临界点、极值、单调性、凸凹性、拐点和渐近线。这需要对导数和二阶导数的理解，以及函数图形的直观判断。 4. 定积分的计算： - 计算如∫ arctan(x^2) dx、∫ (1/x^2 - 1) dx、∫ e^(-x)/x dx等积分问题，需要掌握不定积分的基本公式和换元积分法、分部积分法。 5. 微分方程与微分不等式： - 给定函数f'(x)满足1/2 ≤ f'(x)，证明存在唯一的x使得f(x) = x，这涉及微分不等式的性质和中间值定理。 6. 抛物线与光学： - 计算抛物线y = 3x^2在x=1处的切线方程，以及确定光源位置使光线反射后平行于y轴，这需要理解抛物线的几何性质和光的反射定律。 7. 密度点与函数的单调性： - 假设f'(x)在(0,1)上连续且x是f'(x)的密度点，证明f(x)在[0,1]上单调递增，这里用到了导数与函数单调性的关系。 8. 初等函数的连续性与极限： - 若函数f在[a, b]上连续，且对所有x趋近于0，f(g(x))的极限存在，证明一系列关于f(x)和g(x)的性质，包括有界性、连续性和零点的性质。 9. 微分中值定理及其应用： - 探讨函数f在[0,1]上可微，证明f'满足中间值定理和均值定理，这涉及到微分中值定理的核心内容。 总结来说，这些题目覆盖了数学分析的基础理论，包括极限理论、级数收敛性、函数的图形与性质、定积分、微分方程、函数的连续性与单调性、微分中值定理等重要概念。解决这些问题需要扎实的数学分析基础知识和灵活的解题技巧。